Geometria euklidesowa

Fundamenty

Euklides zdawał sobie sprawę, że rygorystyczny rozwój geometrii musi zacząć się od fundamentów. Dlatego też rozpoczął Elementy od niezdefiniowanych pojęć, takich jak „punkt to taki, który nie ma części” i „prosta to długość bez szerokości”. Wychodząc od tych pojęć, zdefiniował kolejne pojęcia, takie jak kąty, koła, trójkąty i różne inne wielokąty i figury. Na przykład kąt był definiowany jako nachylenie dwóch linii prostych, a okrąg był figurą płaską składającą się ze wszystkich punktów, które mają stałą odległość (promień) od danego środka.

Jako podstawę do dalszych dedukcji logicznych Euklides zaproponował pięć powszechnych pojęć, takich jak „rzeczy równe tej samej rzeczy są równe”, oraz pięć niepodważalnych, ale intuicyjnych zasad, znanych różnie jako postulaty lub aksjomaty. Aksjomaty te są następujące:

• 1. Dając dwa punkty, istnieje linia prosta, która je łączy.
• 2. Odcinek prostej można przedłużać w nieskończoność.
• 3. Można skonstruować okrąg, gdy dany jest punkt na jego środek i odległość na jego promień.
• 4. Wszystkie kąty proste są równe.
• 5. Jeżeli prosta padająca na dwie proste powoduje, że kąty wewnętrzne na tym samym boku są mniejsze od dwóch kątów prostych, to te dwie proste, jeśli będą tworzone w nieskończoność, spotkają się po tej stronie, po której kąty są mniejsze od dwóch kątów prostych.

Hilbert udoskonalił aksjomaty (1) i (5) w następujący sposób:

• 1. Dla dowolnych dwóch różnych punktów, (a) istnieje prosta zawierająca te dwa punkty, oraz (b) prosta ta jest unikalna.
• 5. Dla dowolnej prostej L i punktu p nie leżącego na L, (a) istnieje prosta przechodząca przez p, która nie styka się z L, oraz (b) prosta ta jest unikalna.

Piąty aksjomat stał się znany jako „postulat równoległości”, ponieważ dostarczył podstawy dla unikalności prostych równoległych. (Przyciągnął on również wielkie zainteresowanie, ponieważ wydawał się mniej intuicyjny i oczywisty niż pozostałe. W XIX wieku Carl Friedrich Gauss, János Bolyai i Nikolay Lobachevsky zaczęli eksperymentować z tym postulatem, dochodząc w końcu do nowych, nieeuklidesowych geometrii). Wszystkie pięć aksjomatów stanowiło podstawę dla wielu możliwych do udowodnienia twierdzeń, na których Euklides zbudował swoją geometrię. W dalszej części tego artykułu pokrótce wyjaśniamy najważniejsze twierdzenia euklidesowej geometrii płaskiej i bryłowej.