Jak znaleźć pionowe asymptoty funkcji?

W tym artykule będziemy rozmawiać o tym strasznym słowie A, asymptotach. Z mojego doświadczenia wynika, że studenci często zawieszają się na tym słowie i uważają, że tego typu problemy są niemożliwe do rozwiązania. Ale z solidnym zrozumieniem pojęć i kilkoma technikami algebraicznymi w swoim przyborniku, nie jest zbyt trudno zlokalizować pionowe asymptoty funkcji.

Rodzaje asymptot

Są trzy rodzaje asymptot: horyzontalna, pionowa i skośna. W tym artykule skupimy się na asymptotach pionowych. Asymptoty horyzontalne są omówione w innym miejscu, a asymptoty skośne są rzadko spotykane na egzaminie AP (Więcej informacji o asymptotach skośnych można znaleźć w tym artykule i tym pomocnym filmie).

Asymptoty pionowe

Asymptota pionowa (lub w skrócie VA) dla funkcji jest pionową linią x = k pokazującą gdzie funkcja f(x) staje się nieograniczona. Innymi słowy, wartości y funkcji stają się arbitralnie duże w sensie dodatnim (y→ ∞) lub ujemnym (y→ -∞), gdy x zbliża się do k, albo od lewej, albo od prawej strony.

Asymptota pionowa jest jak „ściana z cegieł”, której funkcja nie może przekroczyć. Wyobraź sobie, że lecisz samolotem, a przed sobą widzisz ogromną górę. Jeśli nie możesz przejść w lewo lub w prawo wokół góry, co byś zrobił? Prawdopodobnie poleciałbyś w górę, aby uniknąć uderzenia w nią. Teraz wyobraź sobie, że ta góra jest pionowa i nieskończenie wysoka. Wtedy mógłbyś lecieć w górę w nieskończoność, aby jej nie uderzyć, a i tak nigdy byś jej nie przekroczył!

Funkcja może mieć dowolną liczbę asymptot pionowych, lub nie mieć ich wcale. Niektóre funkcje mają nawet nieskończenie wiele VA. Wykres pokazany poniżej ma asymptoty pionowe w punktach x = -3 i x = 1.

Ponieważ definicja obejmuje zmienne zbliżające się do stałych wartości, nie powinno być zaskoczeniem, że granice muszą być w jakiś sposób zaangażowane. Dokładna definicja asymptoty pionowej brzmi następująco. Mówimy, że x = k jest VA dla funkcji f(x), jeśli albo lewa, albo prawa granica do x = k jest nieskończona:

Znajdowanie asymptot pionowych

Są dwa główne sposoby znajdowania asymptot pionowych dla problemów na egzaminie AP Calculus AB, graficznie (z samego wykresu) i analitycznie (z równania funkcji). Porozmawiamy o obu.

Określanie pionowych asymptot z wykresu

Jeśli podany jest wykres, poszukaj jakichkolwiek przerw w wykresie. Jeśli wydaje się, że gałąź funkcji skręca w kierunku pionu, to prawdopodobnie mamy do czynienia z VA. Pomocne jest naszkicowanie pionowej linii przy wartości x, w miejscu, gdzie według Ciebie powinna znajdować się asymptota (patrz wykres powyżej). Zauważ, że jeśli część wykresu faktycznie dotyka twojej pionowej linii, to ta linia nie jest asymptotą.

Określanie asymptot pionowych z równania

Jeśli będziesz musiał znaleźć asymptoty pionowe na egzaminie AP, najprawdopodobniej nie dostaniesz wykresu. Będziesz więc musiał wiedzieć, czego szukać w równaniu funkcji. Zadaj sobie pytanie, gdzie ta funkcja ma nieskończoną granicę? Zobaczymy jak to się odnosi do dwóch różnych rodzajów funkcji, funkcji racjonalnych i funkcji trygonometrycznych.

Asymptoty pionowe w funkcjach racjonalnych

Jeśli twoja funkcja jest racjonalna, to znaczy, jeśli f(x) ma postać ułamka, f(x) = p(x) / q(x), w którym zarówno p(x) jak i q(x) są wielomianami, wykonujemy następujące dwa kroki:

1. Ułamek w liczniku (u góry) i w mianowniku (na dole). Jest to bardzo ważne, ponieważ jeśli jakieś czynniki się znoszą, to nie przyczyniają się do powstania asymptot pionowych.

2. Gdy nasza funkcja racjonalna jest już całkowicie zredukowana, spójrz na czynniki w mianowniku. Jeśli istnieje czynnik obejmujący (x – a), to x = a jest VA. Jeśli istnieje czynnik obejmujący (x + a), to x = -a jest VA. Zauważ jak znak wydaje się być przeciwny w obu przypadkach (tak jak przy rozwiązywaniu wielomianu faktoryzowanego, który został ustawiony na zero).

Praktyka Znajdowanie asymptot pionowych

Zobaczmy jak działa nasza metoda. Znajdź pionową asymptotę(y) każdej funkcji.

Rozwiązania:
(a) Pierwszy czynnik i anuluj.

Ponieważ czynnik x – 5 anulował się, nie przyczynia się do ostatecznej odpowiedzi. Na dole pozostaje tylko x + 5, co oznacza, że istnieje jedna VA przy x = -5.

(b) Tym razem po faktoryzacji nie ma żadnych odwołań.

Znajdujemy dwie pionowe asymptoty, x = 0 i x = -2.

Vertical Asymptotes for Trigonometric Functions

Metoda faktoryzacji dotyczy tylko funkcji racjonalnych. Jednak wiele innych typów funkcji ma asymptoty pionowe. Być może najważniejszym przykładem są funkcje trygonometryczne. Spośród sześciu standardowych funkcji trygonometrycznych, cztery z nich mają pionowe asymptoty: tan x, cot x, sec x i csc x. W rzeczywistości każda z tych czterech funkcji ma ich nieskończenie wiele!

Na przykład, f(x) = cot x ma VA przy każdej całkowitej wielokrotności π. Innymi słowy, x = n π jest VA dla każdego n = 0, ±1, ±2, ±3, …

Używanie kalkulatora graficznego

Bardziej ogólne funkcje mogą być trudniejsze do złamania. Jeśli pracujesz nad częścią egzaminu, która pozwala na korzystanie z kalkulatora graficznego, możesz po prostu wykreślić funkcję i spróbować dostrzec załamania wykresu, w których wartości y stają się nieograniczone. Niektóre kalkulatory, takie jak TI-84, mają nawet opcję wykrywania asymptot, która automatycznie wykreśli wykresy VA. Bądź jednak ostrożny; jeśli twoje okno jest zbyt małe, to możesz przegapić VA.

Wniosek

Asymptoty to tylko pewne linie, które mówią nam o zachowaniu funkcji. Pionowa asymptota pokazuje, gdzie funkcja ma nieskończoną granicę (nieograniczone wartości y). Ważne jest, aby być w stanie zauważyć VA na danym wykresie, jak również znaleźć je analitycznie z równania funkcji. Pomocny może być również kalkulator graficzny. Przy odrobinie czasu i praktyki, techniki te mogą być łatwo opanowane, a więc pionowe asymptoty nie muszą być „ceglaną ścianą”, która powstrzymuje cię od pójścia daleko na egzaminie AP Calculus!