Kształt

W geometrii, dwa podzbiory przestrzeni euklidesowej mają ten sam kształt, jeśli jeden z nich może być przekształcony w drugi przez kombinację translacji, rotacji (razem nazywanych również przekształceniami sztywnymi) i jednolitych skalowań. Innymi słowy, kształt zbioru punktów jest to cała informacja geometryczna, która jest niezmienna dla translacji, rotacji i zmian wielkości. Posiadanie tego samego kształtu jest relacją równoważności, a zatem precyzyjna matematyczna definicja pojęcia kształtu może być podana jako klasa równoważności podzbiorów przestrzeni euklidesowej posiadających ten sam kształt.

Matematyk i statystyk David George Kendall pisze:

W tym artykule 'kształt' jest używany w znaczeniu wulgarnym i oznacza to, czego można by się po nim spodziewać. Definiujemy tu 'kształt' nieformalnie jako 'całą informację geometryczną, która pozostaje po odfiltrowaniu z obiektu efektów lokalizacji, skali i rotacji'

Kształty obiektów fizycznych są równe, jeśli podzbiory przestrzeni, które te obiekty zajmują, spełniają powyższą definicję. W szczególności, kształt nie zależy od wielkości i umiejscowienia w przestrzeni obiektu. Na przykład, „d” i „p” mają ten sam kształt, ponieważ mogą być idealnie nałożone na siebie, jeśli „d” zostanie przesunięte w prawo o daną odległość, obrócone do góry nogami i powiększone o dany współczynnik (zobacz nakładanie Procrustesa, aby uzyskać szczegóły). Jednak lustrzanym odbiciem można nazwać inny kształt. Na przykład, litery „b” i „p” mają inny kształt, przynajmniej gdy są ograniczone do poruszania się w dwuwymiarowej przestrzeni, takiej jak kartka, na której są zapisane. Nawet jeśli mają ten sam rozmiar, nie da się ich idealnie nałożyć na siebie, przesuwając i obracając je wzdłuż strony. Podobnie, w przestrzeni trójwymiarowej, prawa i lewa ręka mają inny kształt, nawet jeśli są lustrzanymi odbiciami siebie nawzajem. Kształty mogą się zmieniać, jeśli obiekt jest skalowany niejednolicie. Na przykład, kula staje się elipsoidą, gdy jest skalowana inaczej w kierunku pionowym i poziomym. Innymi słowy, zachowanie osi symetrii (jeśli takowe istnieją) jest ważne dla zachowania kształtów. Ponadto, kształt jest określany tylko przez zewnętrzną granicę obiektu.

Kongruencja i podobieństwoEdit

Obiekty, które można przekształcić w siebie nawzajem za pomocą przekształceń sztywnych i odbicia lustrzanego (ale nie skalowania) są kongruentne. Obiekt jest więc przystający do swojego lustrzanego odbicia (nawet jeśli nie jest symetryczny), ale nie do wersji przeskalowanej. Dwa przystające obiekty zawsze mają ten sam kształt lub lustrzane odbicie i mają ten sam rozmiar.

Obiekty, które mają ten sam kształt lub lustrzane odbicie są nazywane geometrycznie podobnymi, niezależnie od tego, czy mają ten sam rozmiar, czy nie. Zatem obiekty, które mogą być przekształcone w siebie nawzajem przez sztywne transformacje, odbicie lustrzane i jednolite skalowanie są podobne. Podobieństwo jest zachowane, gdy jeden z obiektów jest równomiernie skalowany, natomiast kongruencja nie. Zatem obiekty kongruentne są zawsze geometrycznie podobne, ale obiekty podobne mogą nie być kongruentne, gdyż mogą mieć różne rozmiary.

HomeomorfizmEdit

Bardziej elastyczna definicja kształtu bierze pod uwagę fakt, że realistyczne kształty są często odkształcalne, np. człowiek w różnych postawach, drzewo wyginające się na wietrze lub ręka z różnymi pozycjami palców.

Jednym ze sposobów modelowania niesztywnych ruchów są homeomorfizmy. Z grubsza rzecz biorąc, homeomorfizm jest ciągłym rozciąganiem i zginaniem obiektu w nowy kształt. Tak więc kwadrat i koło są homeomorficzne względem siebie, ale kula i pączek już nie. Często powtarzanym żartem matematycznym jest to, że topolodzy nie potrafią odróżnić filiżanki do kawy od pączka, ponieważ wystarczająco giętki pączek może być przekształcony w formę filiżanki do kawy poprzez stworzenie wgłębienia i stopniowe jego powiększanie, przy jednoczesnym zachowaniu pączkowego otworu w uchwycie filiżanki.

Opisany kształt ma zewnętrzne linie, które możesz zobaczyć i które tworzą kształt. Jeśli były umieszczenie współrzędnych na i wykres współrzędnych można narysować linie, aby pokazać, gdzie można zobaczyć kształt, jednak nie za każdym razem umieścić współrzędne w wykresie jako takie można zrobić kształt. Ten kształt ma kontur i granicę, więc można go zobaczyć i nie jest tylko zwykłymi kropkami na zwykłym papierze.

Analiza kształtuEdit

Wspomniane wyżej matematyczne definicje sztywnego i niesztywnego kształtu pojawiły się w dziedzinie statystycznej analizy kształtu. W szczególności, analiza Procrustesa jest techniką stosowaną do porównywania kształtów podobnych obiektów (np. kości różnych zwierząt), lub pomiaru deformacji odkształcalnego obiektu. Inne metody są przeznaczone do pracy z obiektami niesztywnymi (zginanymi), np. do pobierania kształtów niezależnych od postawy (patrz np. spektralna analiza kształtu).

Klasy podobieństwaEdit

Wszystkie podobne trójkąty mają ten sam kształt. Kształty te mogą być klasyfikowane przy użyciu liczb zespolonych u, v, w dla wierzchołków, zgodnie z metodą opracowaną przez J.A. Lestera i Rafaela Artzy’ego. Na przykład, trójkąt równoboczny może być wyrażony przez liczby zespolone 0, 1, (1 + i √3)/2 reprezentujące jego wierzchołki. Lester i Artzy nazywają ten stosunek

S ( u , v , w ) = u – w u – v {{displaystyle S(u,v,w)={frac {u-w}{u-v}}}.

kształt trójkąta (u, v, w). Wtedy kształt trójkąta równobocznego wynosi

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

Dla dowolnego przekształcenia afinicznego płaszczyzny zespolonej, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {{displaystyle z}mapsto az+b,\quad a\neq 0,}

trójkąt ulega przekształceniu, ale nie zmienia kształtu. Stąd kształt jest niezmiennikiem geometrii afinicznej.Kształt p = S(u,v,w) zależy od kolejności argumentów funkcji S, ale permutacje prowadzą do pokrewnych wartości. Na przykład, 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}

Również p – 1 = S ( u , w , v ) . {{displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}

Połączenie tych permutacji daje S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}

Ponadto, p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {{displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}

Zależności te są „regułami konwersji” dla kształtu trójkąta.

Kształt czworokąta jest związany z dwiema liczbami zespolonymi p,q. Jeśli czworokąt ma wierzchołki u,v,w,x, to p = S(u,v,w) i q = S(v,w,x). Artzy udowadnia następujące twierdzenia o czworokątach:

1. Jeśli p = ( 1 – q ) – 1 , {{displaystyle p=(1-q)^{-1}},}
   

   to czworokąt jest równoległobokiem.

2. Jeżeli równoległobok ma | arg p | = | arg q |, to jest rombem.
3. Jeżeli p = 1 + i i q = (1 + i)/2, to czworokąt jest kwadratem.
4. Jeżeli p = r ( 1 – q – 1 ) {p=r(1-q^{-1}})}
   

   i sgn r = sgn(Im p), to czworokąt jest trapezem.

Wielokąt ( z 1 , z 2 , . . . z n ) {displaystyle (z_{1},z_{2},…z_{n})}

ma kształt określony przez n – 2 liczby zespolone S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . . . . , n – 2. {{displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),j=1,…,n-2.}

Wielokąt ogranicza zbiór wypukły, gdy wszystkie te składowe kształtu mają składowe urojone tego samego znaku.