Odchylenie standardowe

A oto nieco trudniejszy, rzeczywisty przykład: Średni wzrost dorosłych mężczyzn w Stanach Zjednoczonych wynosi 70″, z odchyleniem standardowym wynoszącym 3″. Odchylenie standardowe 3″ oznacza, że większość mężczyzn (około 68%, zakładając rozkład normalny) ma wzrost o 3″ wyższy do 3″ krótszy niż średnia (67″-73″) – jedno odchylenie standardowe. Prawie wszyscy mężczyźni (ok. 95%) mają wzrost o 6″ wyższy do 6″ niższy od przeciętnego (64″-76″) – dwa odchylenia standardowe. Trzy odchylenia standardowe zawierają wszystkie liczby dla 99,7% badanej populacji próby. Jest to prawda, jeśli rozkład jest normalny (bell-shaped).

Gdyby odchylenie standardowe wynosiło zero, wtedy wszyscy mężczyźni mieliby dokładnie 70″ wzrostu. Jeśli odchylenie standardowe wynosiłoby 20″, wtedy niektórzy mężczyźni byliby znacznie wyżsi lub znacznie niżsi od średniej, z typowym zakresem około 50″-90″.

Dla innego przykładu, każda z trzech grup {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} i {6, 6, 8, 8} ma średnią (średnią) 7. Ale ich odchylenia standardowe wynoszą 7, 5, i 1. Trzecia grupa ma znacznie mniejsze odchylenie standardowe niż pozostałe dwie, ponieważ wszystkie jej liczby są bliskie 7. Ogólnie rzecz biorąc, odchylenie standardowe mówi nam, jak daleko od średniej reszta liczb ma tendencję do bycia, i będzie mieć te same jednostki, co same liczby. Jeśli, na przykład, grupa {0, 6, 8, 14} jest wiekiem grupy czterech braci w latach, średnia wynosi 7 lat, a odchylenie standardowe 5 lat.

Odchylenie standardowe może służyć jako miara niepewności. W nauce, na przykład, odchylenie standardowe grupy powtarzanych pomiarów pomaga naukowcom wiedzieć, jak pewni są średniej liczby. Przy podejmowaniu decyzji, czy pomiary z eksperymentu zgadzają się z przewidywaniami, odchylenie standardowe tych pomiarów jest bardzo ważne. Jeśli średnia liczba z eksperymentów jest zbyt odległa od przewidywanej (przy czym odległość mierzy się w odchyleniach standardowych), to testowana teoria może nie być słuszna. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz przedział przewidywań.

Przykłady zastosowańEdit

Zrozumienie odchylenia standardowego zestawu wartości pozwala nam wiedzieć, jak duża różnica od „średniej” (mean) jest oczekiwana.

PogodaEdit

Jako prosty przykład, rozważ średnie dzienne wysokie temperatury dla dwóch miast, jednego w głębi lądu i jednego w pobliżu oceanu. Pomocne jest zrozumienie, że zakres dziennych wysokich temperatur dla miast w pobliżu oceanu jest mniejszy niż dla miast w głębi lądu. Każde z tych dwóch miast może mieć taką samą średnią dzienną wysoką temperaturę. Jednak odchylenie standardowe dziennej wysokiej temperatury dla miasta nadmorskiego będzie mniejsze niż dla miasta w głębi lądu.

SportsEdit

Innym sposobem na zobaczenie tego jest rozważenie drużyn sportowych. W każdym sporcie, będą zespoły, które są dobre w niektórych rzeczach i nie w innych. Zespoły, które zajmują najwyższe pozycje w rankingu nie wykazują dużych różnic w umiejętnościach. Radzą sobie dobrze w większości kategorii. Im niższe odchylenie standardowe ich umiejętności w każdej kategorii, tym bardziej są zrównoważone i spójne. Drużyny z wyższym odchyleniem standardowym będą jednak mniej przewidywalne. Drużyna, która zazwyczaj jest zła w większości kategorii, będzie miała niskie odchylenie standardowe. Drużyna, która zazwyczaj jest dobra w większości kategorii, również będzie miała niskie odchylenie standardowe. Jednakże, drużyna z wysokim odchyleniem standardowym może być typem drużyny, która zdobywa wiele punktów (silna ofensywa), ale również pozwala drugiej drużynie zdobywać wiele punktów (słaba obrona).

Próbując dowiedzieć się z wyprzedzeniem, które drużyny wygrają, można spojrzeć na odchylenia standardowe różnych „statystyk” drużyny. Liczby, które różnią się od oczekiwanych, mogą dopasować mocne i słabe strony, aby pokazać, jakie powody mogą być najważniejsze w określeniu, która drużyna wygra.

W wyścigach mierzony jest czas, jaki kierowca potrzebuje, aby ukończyć każde okrążenie wokół toru. Kierowca z niskim odchyleniem standardowym czasu okrążenia jest bardziej konsekwentny niż kierowca z wyższym odchyleniem standardowym. Ta informacja może być użyta, aby pomóc zrozumieć, jak kierowca może zmniejszyć czas ukończenia okrążenia.

MoneyEdit

W pieniądzach, odchylenie standardowe może oznaczać ryzyko, że cena pójdzie w górę lub w dół (akcje, obligacje, nieruchomości, itp.). Może również oznaczać ryzyko, że grupa cen pójdzie w górę lub w dół (aktywnie zarządzane fundusze inwestycyjne, indeksowe fundusze inwestycyjne lub ETF-y). Ryzyko jest jednym z powodów podejmowania decyzji o tym, co kupić. Ryzyko to liczba, którą ludzie mogą wykorzystać, aby dowiedzieć się, ile pieniędzy mogą zarobić lub stracić. W miarę wzrostu ryzyka, zwrot z inwestycji może być większy niż oczekiwany (odchylenie standardowe „plus”). Jednakże, inwestycja może również stracić więcej pieniędzy niż oczekiwano (odchylenie standardowe „minus”).

Na przykład, osoba musiała wybrać pomiędzy dwoma akcjami. Akcje A w ciągu ostatnich 20 lat miały średni zwrot w wysokości 10 procent, przy odchyleniu standardowym wynoszącym 20 punktów procentowych (pp). Akcje B w ciągu ostatnich 20 lat miały średnią stopę zwrotu 12 procent, ale wyższe odchylenie standardowe 30 punktów procentowych. Myśląc o ryzyku, osoba może zdecydować, że akcje A są bezpieczniejszym wyborem. Nawet jeśli nie zarobi tyle pieniędzy, prawdopodobnie nie straci też dużo pieniędzy. Osoba może pomyśleć, że Stock B’s 2 punkt wyższa średnia nie jest warte dodatkowych 10 pp odchylenie standardowe (większe ryzyko lub niepewność oczekiwanego zwrotu).

Reguły dla normalnie dystrybuowanych liczbEdit

Ciemnoniebieski jest mniej niż jedno odchylenie standardowe od średniej. Dla rozkładu normalnego, obejmuje to 68,27 procent liczb; podczas gdy dwa odchylenia standardowe od średniej (średnie i ciemnoniebieskie) obejmują 95,45 procent; trzy odchylenia standardowe (jasne, średnie i ciemnoniebieskie) obejmują 99,73 procent; a cztery odchylenia standardowe stanowią 99,994 procent.

Większość równań matematycznych dla odchylenia standardowego zakłada, że liczby są normalnie rozłożone. Oznacza to, że liczby są rozłożone w określony sposób po obu stronach wartości średniej. Rozkład normalny jest również nazywany rozkładem gaussowskim, ponieważ został odkryty przez Carla Friedricha Gaussa. Często nazywany jest krzywą dzwonową, ponieważ liczby rozchodzą się tak, że na wykresie przybierają kształt dzwonu.

Liczby nie są normalnie rozłożone, jeśli są zgrupowane po jednej lub drugiej stronie średniej wartości. Liczby mogą być rozłożone i nadal być normalnie rozłożone. Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo liczby są rozłożone.