Równanie Darcy’ego-Weisbacha

Współczynnik tarcia fD nie jest stałą: zależy od takich rzeczy jak charakterystyka rury (średnica D i wysokość chropowatości ε), charakterystyka płynu (jego lepkość kinematyczna ν ), i prędkość przepływu płynu ⟨v⟩. Jest ona mierzona z dużą dokładnością w pewnych reżimach przepływu i może być oceniana za pomocą różnych zależności empirycznych lub może być odczytana z opublikowanych wykresów. Wykresy te są często nazywane wykresami Moody’ego, od nazwiska L. F. Moody’ego, stąd sam współczynnik jest czasem błędnie nazywany współczynnikiem tarcia Moody’ego. Bywa też nazywany współczynnikiem tarcia Blasiusa, od zaproponowanego przez niego przybliżonego wzoru.

Rysunek 1 przedstawia wartość fD zmierzoną przez eksperymentatorów dla wielu różnych płynów, w szerokim zakresie liczb Reynoldsa i dla rur o różnych wysokościach chropowatości. W danych tych można wyróżnić trzy szerokie reżimy przepływu cieczy: laminarny, krytyczny i turbulentny.

Regulacje laminarneEdit

Dla przepływów laminarnych (gładkich), konsekwencją prawa Poiseuille’a (które wynika z dokładnego klasycznego rozwiązania dla przepływu płynu) jest to, że

f D = 64 R e , {displaystyle f_{mathrm {D} }={frac {64}{{mathrm {Re} },}

gdzie Re jest liczbą Reynoldsa

R e = ρ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {displaystyle {mathrm {Re} ={ ⟨ v ⟩ D ν }},}

i gdzie μ jest lepkością płynu i

ν = μ ρ {{displaystyle \nu ={{frac {{mu}{{rho }} est znana jako lepkość kinematyczna. W tym wyrażeniu na liczbę Reynoldsa za długość charakterystyczną D przyjmuje się średnicę hydrauliczną rury, która dla rury cylindrycznej płynącej w całości jest równa średnicy wewnętrznej. Na rysunkach 1 i 2 przedstawiających współczynnik tarcia w funkcji liczby Reynoldsa, reżim Re < 2000 wykazuje przepływ laminarny; współczynnik tarcia jest dobrze odwzorowany przez powyższe równanie.

W efekcie strata spowodowana tarciem w reżimie laminarnym jest dokładniej scharakteryzowana jako proporcjonalna do prędkości przepływu, a nie proporcjonalna do kwadratu tej prędkości: można uznać, że równanie Darcy’ego-Weisbacha nie ma prawdziwego zastosowania w reżimie przepływu laminarnego.

W przepływie laminarnym, strata na skutek tarcia powstaje w wyniku przeniesienia pędu z płynu w centrum przepływu na ściankę rury poprzez lepkość płynu; w przepływie nie występują żadne wiry. Należy zauważyć, że strata tarcia jest niewrażliwa na wysokość chropowatości rury ε: prędkość przepływu w sąsiedztwie ścianki rury wynosi zero.

Reżim krytycznyEdit

Dla liczb Reynoldsa w zakresie 2000 < Re < 4000, przepływ jest niestały (zmienia się rażąco z czasem) i zmienia się z jednego odcinka rury do drugiego (nie jest „w pełni rozwinięty”). Przepływ obejmuje początkowe tworzenie się wirów; nie jest dobrze zrozumiany.

Reżim turbulentnyEdit

Dla liczby Reynoldsa większej niż 4000, przepływ jest turbulentny; opór przepływu jest zgodny z równaniem Darcy’ego-Weisbacha: jest proporcjonalny do kwadratu średniej prędkości przepływu. W dziedzinie wielu rzędów wielkości Re (4000 < Re < 108), współczynnik tarcia zmienia się mniej niż o jeden rząd wielkości (0,006 < fD < 0,06). W ramach reżimu przepływu turbulentnego, charakter przepływu może być dalej podzielony na reżim, w którym ściana rury jest efektywnie gładka i taki, w którym wysokość jej chropowatości jest istotna.

Reżim gładkiej ruryEdit

Gdy powierzchnia rury jest gładka (krzywa „gładkiej rury” na rysunku 2), zmiana współczynnika tarcia z Re może być modelowana przez równanie oporu Kármána-Prandtla dla przepływu turbulentnego w gładkich rurach z odpowiednio dobranymi parametrami

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0,537. {{displaystyle}}frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=1.930 log \left(\mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D}}}right)-0.537.}.

Liczby 1.930 i 0.537 są fenomenologiczne; te konkretne wartości zapewniają dość dobre dopasowanie do danych. Iloczyn Re√fD (zwany „tarciową liczbą Reynoldsa”) może być uważany, podobnie jak liczba Reynoldsa, za (bezwymiarowy) parametr przepływu: przy stałych wartościach Re√fD, współczynnik tarcia jest również stały.

W równaniu oporu Kármána-Prandtla, fD może być wyrażony w postaci zamkniętej jako analityczna funkcja Re poprzez zastosowanie funkcji Lamberta W:

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0,537 1,930 ln ( 10 ) 1,930 R e ) = 0,838 W ( 0,629 R e ) { {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}= {{}}W}{1,930}{1,930}}W}{}left(10^{{}frac {-0,537}{1,930}}{{}}mathrm {Re} \)=0,838} W(0,629} \\\)

W tym reżimie przepływu, wiele małych wirów jest odpowiedzialnych za przenoszenie pędu pomiędzy masą płynu a ścianką rury. Wraz ze wzrostem liczby Reynoldsa Re√fD profil prędkości płynu zbliża się asymptotycznie do ścianki, przenosząc w ten sposób więcej pędu na ściankę rury, zgodnie z modelem teorii warstwy granicznej Blasiusa.

Reżim szorstkiej ruryEdit

Gdy wysokość chropowatości powierzchni rury ε jest znaczna (zwykle przy wysokiej liczbie Reynoldsa), współczynnik tarcia odbiega od krzywej gładkiej rury, ostatecznie zbliżając się do wartości asymptotycznej (reżim „szorstkiej rury”). W tym reżimie opór przepływu zmienia się zgodnie z kwadratem średniej prędkości przepływu i nie jest wrażliwy na liczbę Reynoldsa. W tym miejscu warto posłużyć się jeszcze jednym bezwymiarowym parametrem przepływu, liczbę Reynoldsa chropowatości

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {displaystyle R_{*}={frac {1}{sqrt {8}}}left(™mathrm {Re} {{sqrt {f_{mathrm {D}}}}}},™right)}}

gdzie wysokość chropowatości ε jest przeskalowana do średnicy rury D.

Przykładem ilustrującym jest wykreślenie funkcji chropowatości B:

B ( R ∗ ) = 1 1.930 f D + log ( 1.90 8 ⋅ ε D ) { {frac {1}{1.930{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}}+log left({{frac {1.90}{sqrt {8}}}}cdot {{frac {varepsilon }{D}}}right)}

Rysunek 3 pokazuje B w stosunku do R∗ dla danych z rur Nikuradse, Shockling i Langelandsvik.

W tym widoku, dane przy różnym współczynniku chropowatości ε/D schodzą się razem kiedy są wykreślone w stosunku do R∗, demonstrując skalowanie w zmiennej R∗. Następujące cechy są obecne:

• Gdy ε = 0, wtedy R∗ jest identycznie równe zero: przepływ jest zawsze w reżimie gładkiej rury. Dane dla tych punktów leżą na lewym krańcu odciętej i nie znajdują się w ramce wykresu.
• Gdy R∗ < 5, dane leżą na linii B(R∗) = R∗; przepływ jest w reżimie gładkiej rury.
• Gdy R∗ > 100, dane asymptotycznie zbliżają się do linii poziomej; są niezależne od Re, fD, i ε/D.
• Pośredni zakres 5 < R∗ < 100 stanowi przejście z jednego zachowania do drugiego. Dane odchodzą od linii B(R∗) = R∗ bardzo powoli, osiągają maksimum w pobliżu R∗ = 10, a następnie spadają do stałej wartości.

Pasowanie do tych danych w przejściu z gładkiego przepływu rurowego do szorstkiego przepływu rurowego wykorzystuje wykładnicze wyrażenie w R∗, które zapewnia właściwe zachowanie dla 1 < R∗ < 50 (przejście z reżimu gładkiej rury do reżimu szorstkiej rury):

1 f D = – 1.930 log ( 1.90 R e f D ( 1 + 0.34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) ) , {{displaystyle {{frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=-1.930}log \left({}frac {1.90}{f_mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D} }}}}}left(1+0.34R_{*}}exp {frac {-11}{R_{*}}}}right)},}

Funkcja ta posiada te same wartości dla jej członów wspólnych z równaniem oporu Kármána-Prandtla, plus jeden parametr 0.34, aby dopasować asymptotyczne zachowanie dla R∗ → ∞ wraz z jednym kolejnym parametrem, 11, aby regulować przejście od przepływu gładkiego do szorstkiego. Jest on przedstawiony na rysunku 3.

Zależność Colebrooka-White’a pasuje do współczynnika tarcia funkcją postaci

1 f D = – 2.00 log ( 2.51 R e f D ( 1 + R ∗ 3.3 ) ) . displaystyle {frac {1}{sqrt {f_{mathrm {D} }}}}=-2.00 \Nleft({}frac {2.51}{frac {2.51}{f_mathrm {Re} {sqrt {f_{mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Zależność ta zachowuje się poprawnie przy skrajnych wartościach R∗, jak pokazuje oznaczona krzywa na rysunku 3: gdy R∗ jest małe, jest zgodne z gładkim przepływem rurowym, gdy duże, jest zgodne z szorstkim przepływem rurowym. Jednakże jego wyniki w dziedzinie przejściowej zawyżają współczynnik tarcia o znaczny margines. Colebrook uznaje rozbieżność z danymi Nikuradze, ale argumentuje, że jego zależność jest zgodna z pomiarami na rurach komercyjnych. Rzeczywiście, takie rury bardzo różnią się od tych starannie przygotowanych przez Nikuradse: ich powierzchnie charakteryzują się wieloma różnymi wysokościami chropowatości i losowym rozkładem przestrzennym punktów chropowatości, podczas gdy te Nikuradse mają powierzchnie o jednolitej wysokości chropowatości, z punktami niezwykle ściśle upakowanymi.

Obliczanie współczynnika tarcia z jego parametryzacjiEdit

Dla przepływu burzliwego metody znajdowania współczynnika tarcia fD obejmują użycie wykresu, takiego jak wykres Moody’ego, lub rozwiązywanie równań, takich jak równanie Colebrooka-White’a (na którym opiera się wykres Moody’ego), lub równanie Swamee-Jaina. Podczas gdy zależność Colebrooka-White’a jest w ogólnym przypadku metodą iteracyjną, równanie Swamee-Jaina pozwala na bezpośrednie znalezienie fD dla pełnego przepływu w rurze okrągłej.

Bezpośrednie obliczenia, gdy strata tarcia S jest znanaEdit

W typowych zastosowaniach inżynierskich, będzie istniał zestaw danych lub znanych wielkości. Znane są przyspieszenie grawitacji g i lepkość kinematyczna cieczy ν, średnica rury D i wysokość jej chropowatości ε. Jeżeli znana jest również strata wysokości na jednostkę długości S, wówczas współczynnik tarcia fD można obliczyć bezpośrednio z wybranej funkcji dopasowania. Rozwiązując równanie Darcy’ego-Weisbacha dla √fD,

f D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {{displaystyle {{sqrt {f_{mathrm {D} }}={frac {{sqrt {2gSD}}}{{langle v}}.

Możemy teraz wyrazić Re√fD:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {{displaystyle \mathrm {Re}} {{sqrt {f_{mathrm {D}} {}}={{frac {1}{}}}}{{sqrt {2g}}{{sqrt {S}}}{{sqrt {D^{3}}}}

Wyrażając liczbę Reynoldsa chropowatości R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {displaystyle {{begin{aligned}}R_{*}&={frac {varepsilon}} {{cdot {{mathrm {Re}}} {{sqrt {f_{mathrm {D}} {{}}&= {{}}}

Mamy dwa parametry potrzebne do podstawienia do zależności Colebrooka-White’a, lub jakiejkolwiek innej funkcji, dla współczynnika tarcia fD, prędkości przepływu ⟨v⟩, oraz objętościowego natężenia przepływu Q.

Zamieszanie ze współczynnikiem tarcia FanningaEdit

Współczynnik tarcia Darcy-Weisbacha fD jest 4 razy większy niż współczynnik tarcia Fanninga f, więc należy zwrócić uwagę na to, który z nich jest rozumiany w jakimkolwiek wykresie „współczynnika tarcia” lub używanym równaniu. Spośród tych dwóch, współczynnik Darcy’ego-Weisbacha fD jest częściej używany przez inżynierów budownictwa i inżynierów mechaników, a współczynnik Fanninga f przez inżynierów chemików, ale należy zwrócić uwagę na to, aby zidentyfikować właściwy współczynnik niezależnie od źródła wykresu lub wzoru.

Zauważ, że

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {displaystyle \Delta p=f_{mathrm {D} {}}=f=f=f=f=L}{D}}}}}=f=f=f=f=L}{D}}}}}

Większość wykresów lub tabel wskazuje typ współczynnika tarcia lub przynajmniej podaje wzór na współczynnik tarcia przy przepływie laminarnym. Jeśli wzór na przepływ laminarny wynosi f = 16/Re, to jest to współczynnik Fanninga f, a jeśli wzór na przepływ laminarny wynosi fD = 64/Re, to jest to współczynnik Darcy’ego-Weisbacha fD.

Który współczynnik tarcia jest wykreślony na wykresie Moody’ego można ustalić przez sprawdzenie, jeżeli wydawca nie zamieścił wzoru opisanego powyżej:

1. Zauważ wartość współczynnika tarcia dla przepływu laminarnego przy liczbie Reynoldsa 1000.
2. Jeśli wartość współczynnika tarcia wynosi 0,064, to na wykresie Moody’ego jest wykreślony współczynnik tarcia Darcy’ego. Zauważ, że niezerowe cyfry w 0.064 są licznikiem we wzorze na współczynnik tarcia Darcy’ego: fD = 64/Re.
3. Jeśli wartość współczynnika tarcia wynosi 0.016, to współczynnik tarcia Fanninga jest wykreślony na diagramie Moody’ego. Zauważmy, że niezerowe cyfry w 0.016 są licznikiem we wzorze na współczynnik tarcia Fanninga dla laminarnego przepływu powietrza: f = 16/Re.

Powyższa procedura jest podobna dla każdej dostępnej liczby Reynoldsa, która jest całkowitą potęgą dziesięciu. Nie jest konieczne zapamiętanie wartości 1000 dla tej procedury, a jedynie to, że liczba Reynoldsa jest potęgą dziesiętną liczby całkowitej.