Rozwiązywanie równań wykładniczych z logarytmami
Z definicjąZ logarytmamiZ kalkulatorami
Purplemath
Większość równań wykładniczych nie rozwiązuje się zgrabnie; nie ma możliwości przekonwertowania podstaw do bycia takimi samymi, jak konwersja 4 i 8 na potęgi 2. Rozwiązując te bardziej skomplikowane równania, będziesz musiał użyć logarytmów.
Branie logarytmów pozwoli nam skorzystać z reguły logarytmów, która mówi, że potęgi wewnątrz logu mogą być przesunięte do przodu jako mnożniki. Biorąc log wykładniczy, możemy następnie przenieść zmienną (będącą w wykładniku, który jest teraz wewnątrz logu) na zewnątrz, jako mnożnik na logu. Innymi słowy, reguła logarytmu pozwoli nam przenieść zmienną z powrotem na ziemię, gdzie będziemy mogli położyć na niej ręce.
Na przykład:
Content Continues Below
MathHelp.com
-
Rozwiąż 2x = 30
Gdyby to równanie poprosiło mnie o „Rozwiązanie 2x = 32”, wtedy znalezienie rozwiązania byłoby łatwe, ponieważ mógłbym przekonwertować 32 na 25, ustawić wykładniki równe i rozwiązać dla „x = 5”. Ale, w przeciwieństwie do 32, 30 nie jest potęgą 2, więc nie mogę ustawić potęg równych sobie. Potrzebuję jakiejś innej metody dotarcia do x, ponieważ nie mogę rozwiązać równania ze zmienną unoszącą się tam powyżej 2; potrzebuję jej z powrotem na ziemi, gdzie jest jej miejsce, gdzie mogę się do niej dostać. I będę musiał użyć logarytmów, aby sprowadzić tę zmienną na dół.
Affiliate
Gdy mam do czynienia z równaniami, mogę zrobić cokolwiek mi się podoba z równaniem, tak długo jak robię to samo po obu stronach. I, aby rozwiązać równanie, muszę uzyskać zmienną samą w sobie po jednej stronie znaku „równości”; aby wyizolować zmienną, muszę „cofnąć” wszystko, co zostało zrobione ze zmienną.
W tym przypadku zmienna x została umieszczona w wykładniku. Wrotami (technicznie rzecz biorąc, „odwrotnością”) wykładników są logarytmy, więc będę musiał cofnąć wykładnik, biorąc log z obu stron równania. Jest to dla mnie przydatne ze względu na regułę log, która mówi, że wykładniki wewnątrz logu mogą być przekształcone w mnożniki przed logiem:
logb(mn) = n – logb(m)
Gdy biorę log z obu stron równania, mogę użyć dowolnego loga, który mi się podoba (log podstawy 10, log podstawy 2, log naturalny, itp.), Ale niektóre są czasami bardziej przydatne niż inne. Ponieważ podstawą w równaniu „2x = 30” jest „2”, mogę spróbować użyć logu o podstawie 2:
log2(2x) = log2(30)
Każdy log podstawy logu zwraca wartość 1, więc log2(2) = 1. Następnie:
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
Jeśli jesteś poproszony o „znalezienie rozwiązania”, to powyższe powinno być akceptowalną odpowiedzią. Jednak ta wartość, podczas gdy „dokładna”, nie będzie bardzo pomocna dla problemów słownych (lub w „prawdziwym życiu”), jeśli potrzebujesz przybliżenia liczbowego.
Content Continues Below
Ale nie możemy ocenić tego wyrażenia w naszych kalkulatorach w obecnej postaci. Po pierwsze, musielibyśmy zastosować formułę zmiany podstawy, aby przekształcić wyrażenie na coś w podstawie, którą nasze kalkulatory mogą zrozumieć; mianowicie, log naturalny lub log wspólny. Ta konwersja wygląda następująco:
x = log2(30)
Przypomnienie: „ln” jest skrótem od „logarithmus naturalis”, łacińskiej wersji tego, co stało się „naturalnym logiem” w języku angielskim. Skrót ten wymawia się jako „ell-enn” i zapisuje małą literą „L”, po której następuje mała litera „N”. Nie ma „I” („oko”) w nazwie funkcji!
Co by się stało, gdybym po prostu użył naturalnego dziennika, zamiast dziennika base-two, w pierwszej kolejności? Proces byłby dokładnie taki sam, a ostateczna odpowiedź byłaby równoważna.
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
W każdym razie otrzymam tę samą odpowiedź, ale wzięcie logu naturalnego w pierwszej kolejności było prostsze i krótsze.
Uwaga: Mogłem użyć zwykłego (base-10) logu zamiast naturalnego (to jest base-e) logu, a nadal dochodzić do tej samej wartości (po oszacowaniu w kalkulatorze).
Affiliate
Affiliate
Ponieważ nauka tak bardzo używa logu naturalnego, i ponieważ jest to jeden z dwóch logów, które kalkulatory mogą ocenić, mam tendencję do przyjmowania logu naturalnego z obu stron podczas rozwiązywania równań wykładniczych. Nie jest to (ogólnie) wymagane, ale często jest bardziej użyteczne niż inne opcje.
-
Rozwiąż 5x = 212. Podaj swoją odpowiedź w dokładnej formie i jako przybliżenie dziesiętne do trzech miejsc.
Ponieważ 212 nie jest potęgą 5, będę musiał użyć logów, aby rozwiązać to równanie. Mógłbym wziąć log podstawy-5 z każdej strony, rozwiązać, a następnie zastosować formułę zmiany podstawy, ale myślę, że wolałbym po prostu użyć logu naturalnego w pierwszej kolejności:
5x = 212
ln(5x) = ln(212)
x – ln(5) = ln(212)
…lub około 3,328, zaokrąglone do trzech miejsc po przecinku.
-
Rozwiąż 102x = 52
Ponieważ 52 nie jest potęgą 10, będę musiał użyć logów, aby to rozwiązać. W tym konkretnym przypadku, ponieważ podstawą jest 10 i ponieważ logi podstawy 10 mogą być wykonane na kalkulatorze, użyję logu zwykłego zamiast logu naturalnego, aby rozwiązać to równanie:
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
….lub około 0,858, zaokrąglone do trzech miejsc po przecinku.
-
3(2x+4) = 350
Zanim zacznę patrzeć na wykładniczy, najpierw muszę pozbyć się 3, więc podzielę to, aby uzyskać:
Ponieważ
nie jest potęgą 2, będę musiał użyć logów. W tym przypadku użyję logu naturalnego:
…lub około 2,866, zaokrąglone do trzech miejsc po przecinku.
Uwaga: Możesz również rozwiązać powyższe, używając reguł wykładników, aby rozbić moc na 2: