6 Coisas que Provavelmente Não Sabia't Know About Pi
Today is Pi Day. Sabe, 14 de Março. 3/14 é mais ou menos como 3.14. Percebeu? OK, é um pouco exagerado porque 3/14 parece uma fracção e não Pi. Tanto faz. Ainda lhe chamamos Pi Day.
p>Even se a data de Pi Day for um pouco estranha, Pi continua a ser bastante espectacular. Aqui estão algumas coisas que pode não saber sobre Pi.
Há muitas aproximações para Pi
Se tiver um círculo, pode medir duas coisas: a distância em torno do perímetro do círculo (circunferência) e a distância através da parte mais larga do círculo (diâmetro). Não importa o tamanho do seu círculo, a razão entre circunferência e diâmetro é o valor de Pi. Pi é um número irracional… não se pode anotá-lo como decimal não infinito. Isto significa que precisa de um valor aproximado para Pi.
A aproximação mais simples para Pi é apenas 3. Sim, todos sabemos que isso é incorrecto, mas pode pelo menos começar se quiser fazer algo com círculos. No passado, muitos livros de matemática listaram Pi como 22/7. Mais uma vez, isto é apenas uma aproximação mas é melhor do que o valor de 3 (na verdade 22/7 está mais próximo de Pi do que apenas escrever 3,14).
A história inicial da matemática cobre muitas aproximações do valor de Pi. O método mais comum seria construir um polígono multifacetado e utilizá-lo para calcular o perímetro e o diâmetro como estimativa para Pi. Outras culturas encontraram formas de escrever Pi como uma série infinita–mas sem um computador, isto pode ser um pouco difícil de calcular muito longe.
É possível calcular um monte de dígitos de Pi
Existem muitos métodos para calcular Pi, mas vou passar em revista os mais simples de entender. Começa com a função tangente inversa. Sabemos que a tangente inversa de 1 é π/4 e podemos utilizá-la para calcular Pi. Não, não se pode simplesmente ligá-lo à calculadora e obter Pi– isso pressupõe que já se conhece Pi. Em vez disso, precisamos de fazer uma expansão da Série Taylor da tangente inversa.
A ideia básica por detrás da Série Taylor é que qualquer tipo de função se parece com uma série de potências se se concentrar apenas numa parte dessa função. Usando isto, posso representar a tangente inversa de algum valor (x) como uma série infinita:
Expandir esta função sobre o ponto x = 1 deve ser igual a π/4. Isto significa que obtemos o seguinte para π: (nota: equação fixa em 14/03/16)
é isso. Agora pode simplesmente ligar a esta fórmula durante o tempo que quiser… ou pode ter um computador a fazê-lo. Aqui está um programa que calcula os primeiros 10.000 termos da série (basta premir play para o executar):
Ver, isso não é tão difícil para um computador. Contudo, é possível ver que mesmo após 10.000 termos o valor calculado ainda é diferente do valor aceite. Esta não é a melhor série para calcular Pi—mas eu disse que anteriormente.
Pode calcular Pi com números aleatórios
Esta é a minha actividade Pi preferida. Aqui está a ideia. Gerar pares de números aleatórios entre 0 e 1 para criar coordenadas x,y aleatórias. Plotar estes pontos numa grelha 1 por 1 e calcular a sua distância até à origem. Alguns destes terão uma distância à origem inferior a 1 e outros serão superiores a 1. Os pontos com uma distância inferior a 1 são “dentro de um círculo”—actualmente é um quarto de círculo. Assim, ao contar os pontos dentro do círculo, comparando-os com o total de pontos, obtenho uma estimativa da área deste círculo que deverá ser π/4. É isso.
OK, aqui está o programa.
Você deve realmente brincar com isto (porque é divertido). Tente alterar o número de pontos ou algo do género. Incluí uma declaração “rate(1000)” para que se possa ver os pontos a serem adicionados. Oh, corra-a mais do que uma vez– cada vez obtém um resultado diferente devido à parte aleatória.
Há uma ligação entre Pi e gravidade
Encerrar a sua calculadora. Use 9,8 m/s2 para a constante gravitacional local (g). Agora experimente isto:
Isso está muito próximo do valor aceite de Pi—-e não é uma coincidência. Vem da versão original do contador como uma unidade de comprimento. Uma maneira de definir um contador é criar um pêndulo que leva 1 segundo para fazer um balanço (ou 2 segundos para o período). Se se lembrar, existe uma relação entre período e duração para um pêndulo (com uma pequena amplitude de oscilação):
p>Ponto em 1 metro para a duração e 2 segundos para o período e boom—-aí a sua ligação. Aqui está uma explicação mais detalhada.
Pi está num grupo de cinco super números
Esta é a Identidade de Euler.
Se não acha que essa equação é louca e espectacular, então não está a prestar atenção. Faz uma relação entre estes cinco números:
- Pi: você sabe, círculos e coisas.
- e: o número natural. Este número é muito importante em cálculo e outras coisas (aqui está a minha explicação de antes).
- i: o número imaginário. Com este número (a raiz quadrada do negativo 1) podemos escrever números complexos (combinação de real e imaginário).
- 1: a identidade multiplicativa. Pode parecer uma idiotice, mas multiplicar por um é muito importante – basta tomar como exemplo as conversões de unidades.
- 0: a identidade aditiva. Sem o número zero, não se pode realmente ter valor de lugar, pelo que se fica preso a um sistema numérico como os Numerais Romanos.
Mas porque é que esta equação funciona? Essa não é uma resposta tão simples. Claro, poderia usar a fórmula de Euler para exponenciais:
No entanto, isso é como explicar a magia com mais magia. Para mim, o problema é que gostamos de pensar nos números como verdadeiras coisas contabilizáveis. Mas não se pode contar um número imaginário. Pode-se dizer que 32 é como 3 grupos de 3, mas que tal 31,32? Ou que tal 3-3,2i? Esses são bastante difíceis de imaginar. Se ainda quiseres tatear esta Identidade Euler, verifica este site.
152 decimais de Pi são provavelmente suficientes
Imagine uma esfera grande. Se conhecer o diâmetro desta grande esfera, também pode encontrar a circunferência usando o valor de Pi. Agora substitua a esfera pelo diâmetro do universo observável a 93 mil milhões de anos-luz (sim, eu sei que é maior do que 13 mil milhões de anos-luz—é complicado). Se não soubermos o valor exacto de Pi, mas um 152 dígitos então não sabemos a circunferência exacta. Contudo, a incerteza na circunferência é menor do que o comprimento de Planck – a menor unidade de medida de distância que tem algum significado. São necessários ainda menos dígitos de Pi para obter uma incerteza na circunferência menor do que o tamanho de um átomo.
Então, devemos parar de procurar cada vez mais dígitos de Pi? Não, precisamos de continuar a procura de uma melhor apoximação de Pi. De qualquer modo, quem sabe o que vamos encontrar nos dígitos de Pi. Já existe o ponto Feynman em que há uma sequência de seis 9’s seguidos. E não se esqueça desta banda desenhada clássica de xkcd.
Trabalhos de casa
Queres os trabalhos de casa do dia de Pi? OK, aqui estão algumas perguntas para si.
- Encontre uma receita numérica melhor para calcular os dígitos de Pi e faça-o (em Python ou o que quer que seja). Atenção, talvez tenha de importar algo como o módulo decimal para que possa exibir muitos dígitos de número.
- Calcular (ou estimar) quantos dígitos de Pi precisa para calcular a circunferência do universo até ao tamanho de 1 átomo.
- Sumindo que os dígitos de Pi são aleatórios, qual é a probabilidade de encontrar uma série de sete 9’s seguidos? Quantos dígitos precisaria de calcular para ter 50% de probabilidade de ver estes sete 9 noves?
li> Voltar ao cálculo do número aleatório para Pi. Altere o programa de modo a que ele trace pontos aleatórios em três dimensões em vez de apenas dois.