Como se encontram as Assímptotas Verticais de uma Função?

Neste artigo, vamos falar da temida palavra A, assímptota. Na minha experiência, os estudantes ficam muitas vezes presos ao termo e podem acreditar que este tipo de problemas é impossível. Mas com uma sólida compreensão dos conceitos, e algumas técnicas algébricas na sua caixa de ferramentas, não é muito difícil localizar as assímptotas verticais de uma função.

Os Tipos de Assímptotas

Existem três tipos de assímptotas: horizontal, vertical, e oblíqua. Este artigo foca as assímptotas verticais. As assímptotas horizontais são discutidas noutro local, e as assímptotas oblíquas são raras de ver no Exame AP (Para mais informações sobre as assímptotas oblíquas, ou inclinadas, ver este artigo e este vídeo útil).

Assímptotas verticais

Uma assímptota vertical (ou VA para abreviar) para uma função é uma linha vertical x = k mostrando onde uma função f(x) se torna desvinculada. Por outras palavras, os valores y da função tornam-se arbitrariamente grandes no sentido positivo (y→ ∞) ou negativo (y→ -∞) à medida que x se aproxima de k, seja pela esquerda ou pela direita.

Uma assímptota vertical é como uma “parede de tijolo” que a função não pode atravessar. Imagine que está a voar num avião e, à frente, vê uma enorme montanha. Se não pode ir para a esquerda ou para a direita à volta da montanha, o que faria? Provavelmente voaria para cima para evitar bater-lhe. Agora imagine que a montanha é vertical e infinitamente alta. Então poderia voar para cima para sempre para evitar atingi-la, e mesmo assim nunca ultrapassar a montanha!

Uma função pode ter qualquer número de assímptotas verticais, ou nenhuma. Algumas funções têm mesmo infinitamente muitos VAs. O gráfico mostrado abaixo tem assímptotas verticais em x = -3 e x = 1.

Porque a definição envolve variáveis que se aproximam de valores fixos, não deve vir como choque que os limites devem ser envolvidos de alguma forma. A definição precisa de uma assímptota vertical é a seguinte. Dizemos que x = k é um VA para uma função f(x) se o limite da esquerda ou da direita para x = k for infinito:

Limite para Assímptota Vertical

Existem duas formas principais de encontrar assímptotas verticais para problemas no exame AP Calculus AB, graficamente (a partir do próprio gráfico) e analiticamente (a partir da equação de uma função). Falaremos de ambos.

Determinando Assímptotes Verticais a partir do Gráfico

Se for dado um gráfico, então procure por quaisquer quebras no gráfico. Se parecer que um ramo da função se vira em direcção à vertical, então provavelmente está-se a olhar para um VA. Ajuda a esboçar uma linha vertical no valor x onde acha que a assímptota deve estar (ver o gráfico acima). Note, se parte do gráfico tocar realmente na sua linha vertical, então essa linha não é afinal uma assímptota.

Determinando Assímptotas Verticais a partir da Equação

Se precisar de encontrar assímptotas verticais no Exame AP, muito provavelmente não lhe será dado o gráfico. Por isso, terá de saber o que procurar na equação da própria função. Pergunte a si mesmo, onde é que esta função tem um limite infinito? Veremos como isto se aplica a dois tipos diferentes de funções, funções racionais e funções trigonométricas.

Asymptotes Verticais em Funções Racionais

Se a sua função é racional, ou seja, se f(x) tem a forma de uma fracção, f(x) = p(x) / q(x), em que ambos p(x) e q(x) são polinómios, então seguimos estes dois passos:

1. Factor tanto o numerador (superior) como o denominador (inferior). Isto é muito importante porque se algum factor acabar por cancelar, então eles não contribuiriam com nenhuma assímptota vertical.

2. Uma vez que a sua função racional esteja completamente reduzida, olhe para os factores no denominador. Se existe um factor que envolve (x – a), então x = a é um VA. Se houver um factor envolvendo (x + a), então x = -a é um VA. Note-se como o sinal parece ser oposto em ambas as vezes (tal como resolver um polinómio de factor que foi definido igual a zero).

Practice Finding Vertical Asymptotes

Vejamos como funciona o nosso método. Encontrar a(s) assímptota(s) vertical(ais) de cada função.

Soluções:
(a) Primeiro factor e cancelar.

Desde que o factor x – 5 seja cancelado, não contribui para a resposta final. Apenas x + 5 é deixado no fundo, o que significa que existe um único VA a x = -5,

(b) Desta vez não há cancelamentos após o factoring.

Encontramos duas assímptotas verticais, x = 0 e x = -2.

Assímptotas Verticais para Funções Trigonométricas

O método de factoring só se aplica a funções racionais. No entanto, muitos outros tipos de funções têm assímptotas verticais. Talvez os exemplos mais importantes sejam as funções trigonométricas. Das seis funções trigonométricas padrão, quatro delas têm assímptotas verticais: tan x, cot x, sec x, e csc x. De facto, cada uma destas quatro funções tem infinitamente muitas delas!

Por exemplo, f(x) = cot x tem um VA em cada múltiplo inteiro de π. Por outras palavras, x = n π é um VA para cada n = 0, ±1, ±2, ±3, …

Utilizando a sua Calculadora Gráfica

Outras funções gerais podem ser mais difíceis de quebrar. Se estiver a trabalhar numa secção do exame que permita uma calculadora gráfica, então pode simplesmente fazer um gráfico da função e tentar detectar as quebras no gráfico em que os valores y se tornam desvinculados. Algumas calculadoras, como a TI-84, têm mesmo uma opção chamada detectar as assímptotas, que automaticamente grafará os VAs. Mas tenha cuidado; se a sua janela de visualização for demasiado pequena, então poderá perder um VA.

Conclusion

Asymptotes são apenas certas linhas que nos informam sobre o comportamento das funções. Uma assímptota vertical mostra onde a função tem um limite infinito (valores y não vinculados). É importante ser capaz de detectar os VAs num dado gráfico, bem como de os encontrar analiticamente a partir da equação da função. A sua calculadora gráfica também pode ajudar. Com um pouco de tempo e prática, estas técnicas podem ser facilmente dominadas, e assim as assímptotas verticais não têm de ser a “parede de tijolos” que o impede de ir longe no exame de Cálculo AP!