equação de Darcy-Weisbach

Figura 1. O factor de atrito de Darcy versus número de Reynolds para 10 < Re < 108 para tubo liso e uma gama de valores de rugosidade relativa ε/D. Os dados são de Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939), e McKeon (2004).

O factor de fricção fD não é uma constante: depende de coisas como as características do tubo (diâmetro D e altura de rugosidade ε), as características do fluido (a sua viscosidade cinemática ν ), e a velocidade do fluxo do fluido ⟨v⟩. Foi medido com grande precisão dentro de certos regimes de caudal e pode ser avaliado através da utilização de várias relações empíricas, ou pode ser lido a partir de gráficos publicados. Estes gráficos são muitas vezes referidos como diagramas Moody, depois de L. F. Moody, e por isso o próprio factor é por vezes erroneamente chamado factor de fricção Moody. Também é por vezes chamado factor de fricção Blasius, após a fórmula aproximada que propôs.

Figure 1 mostra o valor de fD medido pelos experimentadores para muitos fluidos diferentes, sobre uma vasta gama de números Reynolds, e para tubos de várias alturas de rugosidade. Há três grandes regimes de fluxo de fluidos encontrados nestes dados: laminar, crítico, e turbulento.

Regime laminarEdit

Para fluxos laminares (suaves), é uma consequência da lei de Poiseuille (que deriva de uma solução clássica exacta para o fluxo de fluidos) que

f D D = 64 R e , {\displaystyle f_{\mathrm {\d} {\i1}=frac {64}{\i1}mathrm {Re} ,},}

where Re is the Reynolds number

R e = ρ μ μ ⟨ v ⟩ D = ⟨ v ⟩ D ν , {\i1}displaystyle {\i} ={\i1}frac {\i}rho {\i}langle v={\i}langle D={\i}langle v=rangle D=nu {\i}

e onde μ é a viscosidade do fluido e

ν = μ ρ {\displaystyle }nu ={\frac {\mu }{\rho }}

é conhecida como a viscosidade cinemática. Nesta expressão para o número Reynolds, o comprimento característico D é tomado como sendo o diâmetro hidráulico do tubo, o qual, para um tubo cilíndrico a fluir cheio, é igual ao diâmetro interior. Nas figuras 1 e 2 do factor de atrito versus número de Reynolds, o regime Re < 2000 demonstra fluxo laminar; o factor de atrito é bem representado pela equação acima.

Com efeito, a perda de atrito no regime laminar é caracterizada com mais precisão como sendo proporcional à velocidade do fluxo, em vez de proporcional ao quadrado dessa velocidade: poder-se-ia considerar a equação de Darcy-Weisbach como não verdadeiramente aplicável no regime de fluxo laminar.

No fluxo laminar, a perda de atrito resulta da transferência de momento do fluido no centro do fluxo para a parede do tubo através da viscosidade do fluido; não há vórtices presentes no fluxo. Note-se que a perda de fricção é insensível à altura de rugosidade do tubo ε: a velocidade do fluxo na vizinhança da parede do tubo é zero.

Regime críticoEdit

Para números Reynolds na gama 2000 < Re < 4000, o fluxo é instável (varia grosseiramente com o tempo) e varia de uma secção do tubo para outra (não está “totalmente desenvolvido”). O fluxo envolve a formação incipiente de vórtices; não é bem compreendido.

Regime TurbulentoEdit

Figura 2. O factor de fricção Darcy versus número Reynolds para 1000 < Re < 108 para tubo liso e uma gama de valores de rugosidade relativa ε/D. Os dados são de Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939), e McKeon (2004).

Para Reynolds número superior a 4000, o fluxo é turbulento; a resistência ao fluxo segue a equação de Darcy-Weisbach: é proporcional ao quadrado da velocidade média do fluxo. Num domínio de muitas ordens de magnitude de Re (4000 < Re < 108), o factor de atrito varia menos de uma ordem de magnitude (0,006 < fD < 0,06). Dentro do regime de fluxo turbulento, a natureza do fluxo pode ser ainda dividida num regime em que a parede do tubo é efectivamente lisa, e um em que a sua altura de rugosidade é saliente.

Regime de tubo lisoEdit

Quando a superfície do tubo é lisa (a curva “tubo liso” na Figura 2), a variação do factor de atrito com Re pode ser modelada pela equação de resistência de Kármán-Prandtl para escoamento turbulento em tubos lisos com os parâmetros devidamente ajustados

1 f D = 1.930 log ( R e f D ) – 0,537. estilo de exibição {\frac {1}{sqrt {f_mathrm {D} }}}}=1.930\log {\i1}esquerda(mathrm {Re} {f_mathrm {D}}}direita)-0.537.}

Os números 1.930 e 0.537 são fenomenológicos; estes valores específicos proporcionam uma boa adaptação aos dados. O produto Re√fD (chamado “número Reynolds de fricção”) pode ser considerado, tal como o número Reynolds, como um parâmetro (sem dimensões) do fluxo: a valores fixos de Re√fD, o factor de fricção também é fixo.

Na equação de resistência de Kármán-Prandtl, fD pode ser expresso de forma fechada como uma função analítica de Re através da utilização da função Lambert W:

1 f D = 1.930 ln ( 10 ) W ( 10 – 0,537 1,930 ln ( 10 ) 1,930 R e ) = 0,838 W ( 0,629 R e ) {\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}f }}}}={1.930}{1.930}{1.930}{1.930}{1.930}{1.930}}{1.930}{1.930}{1.930}{1.930}{1.930}}Mathrmathrm \{Re)=0,838} W(0,629}mathrm {Re} )} este regime de fluxo, muitos pequenos vórtices são responsáveis pela transferência de momento entre a maior parte do fluido para a parede do tubo. medida que a fricção Reynolds número Re√fD aumenta, o perfil da velocidade do fluido aproxima-se da parede assintóticamente, transferindo assim mais momento para a parede do tubo, como modelado na teoria da camada limite de Blasius.

Regime de tubo rugosoEdit

Quando a altura de rugosidade da superfície do tubo ε é significativa (tipicamente em número de Reynolds elevado), o factor de atrito afasta-se da curva lisa do tubo, acabando por se aproximar de um valor assimptótico (regime de “tubo rugoso”). Neste regime, a resistência ao fluxo varia de acordo com o quadrado da velocidade média do fluxo e é insensível ao número de Reynolds. Aqui, é útil empregar mais um parâmetro sem dimensão do caudal, a rugosidade Reynolds number

R ∗ = 1 8 ( R e f D ) ε D {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1}{\i1}esqrt {\i}{\i1}esquerda(mathrm) {\i} {\i} {\i1}Reqrt {\i} {\i}f_mathrm {\i}, direita){\i}frac {\i}varepsilon

onde a altura de rugosidade ε é dimensionada para o diâmetro do tubo D.

Figura 3. Função de rugosidade B vs. fricção Reynolds número R∗. Os dados caem numa única trajectória quando traçados desta forma. O regime R∗ < 1 é efectivamente o de fluxo de tubo liso. Para o grande R∗, a função de rugosidade B aproxima-se de um valor constante. São mostradas funções fenomenológicas que tentam encaixar estes dados, incluindo o Afzal e o Colebrook-White.

É ilustrativo traçar a função de rugosidade B:

B ( R ∗ ) = 1 1.930 f D + log ( 1.90 8 ⋅ ε D ) {\displaystyle B(R_{*})={\frac {\frac {1}{1.930{\sqrt {f_mathrm {\d} }}}}}++\log Esquerda(1.90)(sqrtqrt8)(dir.)

Figure 3 mostra B versus R∗ para os dados do tubo rugoso de Nikuradse, Shockling, e Langelandsvik.

Nesta vista, os dados com diferentes rugosidades ε/D caem juntos quando plotados contra R∗, demonstrando escalas na variável R∗. As seguintes características estão presentes:

Quando ε = 0, então R∗ é identicamente zero: o fluxo está sempre no regime de tubos lisos. Os dados para estes pontos situam-se no extremo esquerdo da abcissa e não estão dentro do quadro do gráfico.
Quando R∗ < 5, os dados situam-se na linha B(R∗) = R∗; o fluxo está no regime de tubo liso.
Quando R∗ > 100, os dados aproximam-se assintóticamente de uma linha horizontal; são independentes de Re, fD, e ε/D.
A gama intermédia de 5 < R∗ < 100 constitui uma transição de um comportamento para o outro. Os dados partem da linha B(R∗) = R∗ muito lentamente, atingem um máximo próximo de R∗ = 10, depois caem para um valor constante.

Um ajuste a estes dados na transição do fluxo suave do tubo para o fluxo áspero do tubo emprega uma expressão exponencial em R∗ que assegura um comportamento adequado para 1 < R∗ < 50 (a transição do regime de tubo suave para o regime de tubo áspero):

1 f D = – 1.930 log ( 1,90 R e f D ( 1 + 0,34 R ∗ exp – 11 R ∗ ) ) , estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo, estilo de jogo }}}}=-1.930\log {\frac {1.90}{\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_mathrm {\d} R∗\left(1+0,34R_{*}}exp {\frac {-11}{R_{*}}{direita)},}

Esta função partilha os mesmos valores para o seu termo em comum com a equação de resistência de Kármán-Prandtl, mais um parâmetro 0,34 para se ajustar ao comportamento assimptótico para }}}}} → ∞ juntamente com um outro parâmetro, 11, para governar a transição do fluxo suave para o fluxo áspero. É exibido na Figura 3.

A relação Colebrook-White ajusta-se ao factor de atrito com uma função da forma

1 f D = – 2,00 log ( 2,51 R e f D ( 1 + R ∗ 3,3 ) ) . estilo de jogo {\frac {1}{sqrt {f_mathrm {D} }}}}=-2.00\log {\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_mathrm {\d} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}

Esta relação tem o comportamento correcto em valores extremos de R∗, como mostra a curva rotulada na Figura 3: quando R∗ é pequeno, é consistente com um fluxo de tubo liso, quando grande, é consistente com um fluxo de tubo rugoso. No entanto, o seu desempenho no domínio de transição sobrestima o factor de fricção por uma margem substancial. Colebrook reconhece a discrepância com os dados de Nikuradze, mas argumenta que a sua relação é consistente com as medições em tubos comerciais. De facto, tais tubos são muito diferentes daqueles cuidadosamente preparados por Nikuradse: as suas superfícies são caracterizadas por muitas alturas de rugosidade diferentes e distribuição espacial aleatória de pontos de rugosidade, enquanto que os de Nikuradse têm superfícies com uma altura de rugosidade uniforme, com os pontos extremamente apertados.

Cálculo do factor de fricção a partir da sua parametrizaçãoEdit

See também: Darcy fórmulas do factor de fricção

Para fluxo turbulento, os métodos para encontrar o factor de fricção fD incluem a utilização de um diagrama, tal como o gráfico Moody, ou a resolução de equações tais como a equação de Colebrook-White (na qual se baseia o gráfico Moody), ou a equação de Swamee-Jain. Enquanto a relação Colebrook-White é, no caso geral, um método iterativo, a equação de Swamee-Jain permite que fD seja encontrada directamente para fluxo total num tubo circular.

Cálculo directo quando a perda por fricção S é conhecidaEditar

Em aplicações típicas de engenharia, haverá um conjunto de quantidades dadas ou conhecidas. A aceleração da gravidade g e a viscosidade cinemática do fluido ν são conhecidas, assim como o diâmetro do tubo D e a sua altura de rugosidade ε. Se também a perda de carga por unidade de comprimento S for uma quantidade conhecida, então o factor de fricção fD pode ser calculado directamente a partir da função de encaixe escolhida. Resolvendo a equação de Darcy-Weisbach para √fD,

f D D = 2 g S D ⟨ v ⟩ {\sqrt {f_mathrm {\d} frac {\sqrt {2gSD}{\sqrt {2gSD}{\sqrt }{\sqrt {2gSD}{\sqrt }{\sqrt {2gSD}}{\sqrt {2gSD}{\sqrt }{\sqrt {2gSD}{\sqrt

p>podemos agora expressar Re√fD:

R e f D = 1 ν 2 g S D 3 {\i1}displaystyle {\i}mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} {\i1}=frac {\i}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}frac {\i}{\i1}nu {\i}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}Sqrt

Expressão da rugosidade Reynolds número R∗,

R ∗ = ε D ⋅ R e f D ⋅ 1 8 = 1 2 g ν ε S D {\displaystyle {\begin{*}R_{*}&=={\frac {\dvepsilon {\d}cdot {\dev}mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} cdot {1}cdot {1}frac {1}sqrt {8}}&

=={1}frac {2}frac {2}frac {g}nu {g=varepsilon {Sqrt {Sqrt {D}}end{alinhado

temos os dois parâmetros necessários para substituir na relação Colebrook-White, ou qualquer outra função, o factor de fricção fD, a velocidade de fluxo ⟨v⟩, e o caudal volumétrico Q.

Confusão com o factor de fricção FanningEdit

O factor de fricção Darcy-Weisbach fD é 4 vezes maior do que o factor de fricção Fanning f, pelo que se deve ter em atenção qual destes é significado em qualquer gráfico ou equação de “factor de fricção” que esteja a ser utilizada. Dos dois, o factor de Darcy-Weisbach fD é mais comummente utilizado por engenheiros civis e mecânicos, e o factor de Fanning f por engenheiros químicos, mas deve-se ter o cuidado de identificar o factor correcto independentemente da fonte do gráfico ou fórmula.

Nota que

Δ p = f D ⋅ L D ⋅ ρ ⟨ v ⟩ 2 2 = f ⋅ L D ⋅ 2 ρ ⟨ v ⟩ 2 {\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {\D} cdot {\i1}frac {\i}cdot {\i}cdot {\i1}frac {\i}rho vrho vrangle {\i} {\i}{\i1}frac {\i}frac {\i}cdot {\i}cdot {\i}rho vrho vrangle {\i}

A maioria dos gráficos ou tabelas indicam o tipo de factor de fricção, ou pelo menos fornecer a fórmula para o factor de fricção com fluxo laminar. Se a fórmula para o fluxo laminar for f = 16/Re, é o factor de Fanning f, e se a fórmula para o fluxo laminar for fD = 64/Re, é o factor Darcy-Weisbach fD.

Qual factor de fricção é traçado num diagrama Moody pode ser determinado por inspecção se a editora não incluir a fórmula descrita acima:

Observar o valor do factor de fricção para fluxo laminar a um número Reynolds de 1000,
Se o valor do factor de fricção for 0,064, então o factor de fricção Darcy é traçado no diagrama Moody. Note que os dígitos não zero em 0,064 são o numerador na fórmula para o factor de fricção laminar Darcy: fD = 64/Re.
Se o valor do factor de fricção for 0,016, então o factor de fricção Fanning é traçado no diagrama Moody. Note-se que os dígitos não zero em 0,016 são o numerador na fórmula do factor de fricção de ventilação laminar: f = 16/Re.

O procedimento acima é semelhante para qualquer número Reynolds disponível que seja uma potência inteira de dez. Não é necessário recordar o valor 1000 para este procedimento apenas que um poder inteiro de dez é de interesse para este fim.