Forma

Em geometria, dois subconjuntos de um espaço euclidiano têm a mesma forma se um puder ser transformado ao outro por uma combinação de traduções, rotações (juntas também chamadas transformações rígidas), e escalas uniformes. Por outras palavras, a forma de um conjunto de pontos é toda a informação geométrica invariável às traduções, rotações, e mudanças de tamanho. Ter a mesma forma é uma relação de equivalência e, consequentemente, uma definição matemática precisa da noção de forma pode ser dada como sendo uma classe de equivalência de subconjuntos de um espaço euclidiano com a mesma forma.

Matemático e estatístico David George Kendall escreve:

Neste artigo ‘forma’ é usada no sentido vulgar, e significa o que normalmente se esperaria que significasse. Definimos aqui ‘forma’ informalmente como ‘toda a informação geométrica que permanece quando a localização, escala e efeitos rotacionais são filtrados de um objecto.’

Formas de objectos físicos são iguais se os subconjuntos de espaço que estes objectos ocupam satisfizerem a definição acima. Em particular, a forma não depende do tamanho e da colocação no espaço do objecto. Por exemplo, um “d” e um “p” têm a mesma forma, pois podem ser perfeitamente sobrepostos se o “d” for traduzido para a direita por uma determinada distância, rodado de cabeça para baixo e ampliado por um determinado factor (ver sobreposição de Procrustes para detalhes). No entanto, uma imagem espelhada poderia ser chamada de uma forma diferente. Por exemplo, um “b” e um “p” têm uma forma diferente, pelo menos quando são obrigados a mover-se dentro de um espaço bidimensional como a página em que estão escritos. Embora tenham o mesmo tamanho, não há maneira de os sobrepor perfeitamente, traduzindo-os e rodando-os ao longo da página. Da mesma forma, dentro de um espaço tridimensional, uma mão direita e uma mão esquerda têm uma forma diferente, mesmo que sejam as imagens espelhadas uma da outra. As formas podem mudar se o objecto for escalado de forma não uniforme. Por exemplo, uma esfera torna-se uma elipsóide quando escalada de forma diferente nas direcções vertical e horizontal. Por outras palavras, a preservação dos eixos de simetria (se existirem) é importante para a preservação das formas. Além disso, a forma é determinada apenas pelo limite exterior de um objecto.

Congruência e semelhançaEditar

Objectos que podem ser transformados uns nos outros por transformações rígidas e espelhamento (mas não escalonamento) são congruentes. Um objecto é portanto congruente com a sua imagem de espelho (mesmo que não seja simétrico), mas não com uma versão em escala. Dois objectos congruentes têm sempre ou a mesma forma ou formas de imagem de espelho, e têm o mesmo tamanho.

Objectos que têm a mesma forma ou formas de imagem de espelho são chamados geometricamente semelhantes, quer tenham ou não o mesmo tamanho. Assim, os objectos que podem ser transformados uns nos outros por transformações rígidas, espelhamento, e escala uniforme são semelhantes. A semelhança é preservada quando um dos objectos é uniformemente dimensionado, enquanto que a congruência não é. Assim, objectos congruentes são sempre geometricamente semelhantes, mas objectos semelhantes podem não ser congruentes, pois podem ter tamanhos diferentes.

HomeomorphismEdit

Uma definição mais flexível de forma tem em consideração o facto de as formas realistas serem frequentemente deformáveis, por exemplo, uma pessoa em diferentes posturas, uma árvore dobrando-se ao vento ou uma mão com diferentes posições dos dedos.

Uma forma de modelar movimentos não-rígidos é através de homeomorfismos. Grosso modo, um homeomorfismo é um estiramento e dobra contínua de um objecto para uma nova forma. Assim, um quadrado e um círculo são homeomórficos um para o outro, mas uma esfera e um donut não o são. Uma piada matemática frequentemente repetida é que os topólogos não conseguem distinguir a sua chávena de café do seu donut, uma vez que um donut suficientemente maleável poderia ser remodelado para a forma de uma chávena de café, criando uma covinha e alargando-a progressivamente, ao mesmo tempo que preserva o buraco do donut no cabo de uma chávena.

Uma forma descrita tem linhas externas que se podem ver e compor a forma. Se estivesse a colocar coordenadas e gráfico de coordenadas, poderia desenhar linhas para mostrar onde pode ver uma forma, contudo não sempre que colocar coordenadas num gráfico como tal pode fazer uma forma. Esta forma tem um contorno e um limite para que a possa ver e não é apenas pontos regulares num papel normal.

Análise da formaEditar

As definições matemáticas de forma rígida e não rígida acima mencionadas surgiram no campo da análise estatística da forma. Em particular, a análise de Procrustes é uma técnica utilizada para comparar formas de objectos semelhantes (por exemplo, ossos de diferentes animais), ou medir a deformação de um objecto deformável. Outros métodos são concebidos para trabalhar com objectos não rígidos (curváveis), por exemplo, para a recuperação de formas independentes da postura (ver por exemplo Análise espectral da forma).

Classes de semelhançaEditar

Todos os triângulos semelhantes têm a mesma forma. Estas formas podem ser classificadas utilizando números complexos u, v, w para os vértices, num método avançado por J.A. Lester e Rafael Artzy. Por exemplo, um triângulo equilátero pode ser expresso pelos números complexos 0, 1, (1 + i √3)/2 que representam os seus vértices. Lester e Artzy chamam a razão

S ( u , v , w ) = u – w u – v {\\i1}{\i1}{\i1}frac {\i-w}{\i-v}}}

a forma do triângulo (u, v, w). Então a forma do triângulo equilátero é

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

Para qualquer transformação afim do plano complexo, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}

um triângulo é transformado mas não muda a sua forma. Assim, a forma é uma invariância da geometria afim. A forma p = S(u,v,w) depende da ordem dos argumentos da função S, mas as permutações levam a valores relacionados. Por exemplo, 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}

Also p – 1 = S ( u , w , v ) . p^{-1}=S(u,w,v).}

Combinar estas permutações dá S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}

Além disso, p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}

Estas relações são “regras de conversão” para a forma de um triângulo.

A forma de um quadrilátero está associada a dois números complexos p,q. Se o quadrilátero tiver vértices u,v,w,x, então p = S(u,v,w) e q = S(v,w,x). Artzy prova estas proposições sobre formas quadriláteras:

1. se p = ( 1 – q ) – 1 , {\displaystyle p=(1-q)^{-1},}
   

   então o quadrilátero é um paralelogramo.

2. Se um paralelogramo tem | arg p | = | arg q |, então é um losango.
3. Quando p = 1 + i e q = (1 + i)/2, então o quadrilátero é quadrado.
4. If p = r ( 1 – q – 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})}
   

   e sgn r = sgn(Im p), então o quadrilátero é um trapézio.

Um polígono ( z 1 , z 2 , . . . z n ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},…z_{n})}

tem uma forma definida por n – 2 números complexos S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . . . , n − 2. {\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,…,n-2.}

O polígono liga um conjunto convexo quando todos estes componentes de forma têm componentes imaginários do mesmo signo.