Geometria euclidiana

Fundamentals

Euclid percebeu que um desenvolvimento rigoroso da geometria deve começar com as fundações. Assim, começou os Elementos com alguns termos indefinidos, tais como “um ponto é aquele que não tem parte” e “uma linha é um comprimento sem largura”. Partindo destes termos, definiu outras ideias, tais como ângulos, círculos, triângulos, e vários outros polígonos e figuras. Por exemplo, um ângulo foi definido como a inclinação de duas linhas rectas, e um círculo era uma figura plana constituída por todos os pontos que têm uma distância fixa (raio) de um dado centro.

Como base para outras deduções lógicas, Euclides propôs cinco noções comuns, tais como “coisas iguais à mesma coisa são iguais”, e cinco princípios não comprováveis mas intuitivos conhecidos variadamente como postulados ou axiomas. Apresentados em termos modernos, os axiomas são os seguintes:

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• 1. Dado dois pontos, há uma linha recta que os une.
• 2. Um segmento de linha recta pode ser prolongado indefinidamente.
• 3. Um círculo pode ser construído quando é dado um ponto para o seu centro e uma distância para o seu raio.
• 4. Todos os ângulos rectos são iguais.
• 5. Se uma linha recta caindo em duas linhas rectas fizer com que os ângulos interiores do mesmo lado sejam inferiores a dois ângulos rectos, as duas linhas rectas, se produzidas indefinidamente, encontrar-se-ão do lado em que os ângulos são inferiores aos dois ângulos rectos.

Hilbert axiomas refinados (1) e (5) como se segue:

• 1. Para quaisquer dois pontos diferentes, (a) existe uma linha contendo estes dois pontos, e (b) esta linha é única.
• 5. Para qualquer linha L e ponto p não em L, (a) existe uma linha através de p não encontrando L, e (b) esta linha é única.

O quinto axioma ficou conhecido como o “postulado paralelo”, uma vez que forneceu uma base para a singularidade das linhas paralelas. (Também atraiu grande interesse porque parecia menos intuitivo ou auto-evidente do que os outros. No século XIX, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai, e Nikolay Lobachevsky começaram todos a experimentar este postulado, chegando eventualmente a novas geometrias, não euclidianas). Todos os cinco axiomas forneceram a base para numerosas afirmações prováveis, ou teoremas, sobre os quais Euclides construiu a sua geometria. O resto deste artigo explica brevemente os teoremas mais importantes do plano euclidiano e da geometria sólida.