Mersenne Prime

A Mersenne Prime é um número primo que pode ser escrito na forma 2n-12^{n}-12n-1. Por exemplo 313131 é um Mersenne prime que pode ser escrito na forma 25-12^{5}-125-1. Os primeiros primes Mersenne são 3,7,31,127,81913, 7, 31, 127, 81913,7,31,127,8191. Existem 50 primários Mersenne conhecidos a partir de Junho de 2018, embora esperemos que esta situação venha a mudar no futuro. Uma coisa interessante sobre os primes Mersenne é que são os números naturais mais fáceis de provar, pelo que constituem a maior categoria na lista dos números primos conhecidos.

A busca e curiosidade pelos primes Mersenne veio do estudo dos números perfeitos. Um número perfeito é um número que pode ser escrito como a soma dos seus divisores positivos próprios. Por exemplo, 666 é um número perfeito, pois pode ser escrito como 6=1+2+36=1+2+36=1+2+3, e na realidade é o número perfeito mais pequeno. O próximo número perfeito é 28=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+1428=1+2+4+7+14.

Pode ser mostrado que se um número inteiro positivo aaaa pode ser escrito na forma 2n-1(2n-1)2^{n-1}(2^{n}-1)2n-1(2n-1), de tal modo que 2n-12^{n}-12n-1 é um número primo, então aaaa deve ser um número perfeito. Vimos que se 2n-12^{n}-12n-1 é um número primo, então é um Mersenne prime, que cria uma correspondência um-para-um entre os primes Mersenne e até números perfeitos. Ou seja, cada Mersenne prime corresponde exactamente a um número mesmo perfeito! (Até agora não foi encontrado nenhum número perfeito ímpar.)

Prove que se 2n-12^{n}-12n-1 é prime, então nnn também deve ser prime.

Let ppp e qqq sejam inteiros positivos maiores do que um, de modo que n=p⋅qn=p\cdot qn=p⋅q. Depois utilizando a identidade de factorização,

2pq-1=(2p-1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q-1)).{ 2 }^{ pq }-1==esquerda( { 2 }^{ p }-1 ^direita) {cdot { 1+{ 2 }^{ p }+{ 2 }^{ 2p }+{ 2 }^{ 3p }+cdots+{ 2 }^{ p(q-1) }} {\i1}right). 2pq−1=(2p−1)⋅(1+2p+22p+23p+⋯+2p(q−1)).

p>Então se nnn é composto e WLOG 1<p<q1<p<q1<p<q, então temos o termo 2n-12^{n}-12n-1 para ser composto porque é divisível pelo termo 2p-12^{p}-12p-1. □_\square□

A prova diz-nos que se 2n-12^{n}-12n-1 é prime, então nnn também é prime. Mas não garante que se nnn é prime, então 2n-12^{n}-12n-1 é prime, pois não consideramos o segundo termo na equação acima. Um exemplo típico disto é 11:11:11: embora seja um número primo, 211-1=20472^{11}-1=2047211-1=2047 não é um número primo.