Solving Exponential Equations with Logarithms
Da DefiniçãoCom Calculadoras
Purplemath
As equações mais exponenciais não resolvem de forma limpa; não haverá maneira de converter as bases para serem as mesmas, tal como a conversão de 4 e 8 em poderes de 2. Ao resolver estas equações mais complicadas, terá de usar logaritmos.
Tirar logaritmos permitir-nos-á tirar partido da regra do log que diz que as potências dentro de um log podem ser movidas para a frente como multiplicadores. Ao retirar o logaritmo de um exponencial, podemos então mover a variável (estando no exponente que está agora dentro de um log) para a frente, como multiplicador no log. Por outras palavras, a regra do tronco permitir-nos-á mover a variável de volta para o chão, onde podemos deitar-lhe as mãos.
Por exemplo:
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Solve 2x = 30
Se esta equação me tivesse pedido para “Resolver 2x = 32”, então encontrar a solução teria sido fácil, porque eu poderia ter convertido os 32 para 25, ter colocado os expoentes iguais, e ter resolvido para “x = 5”. Mas, ao contrário de 32, 30 não é um poder de 2, pelo que não posso definir poderes iguais uns aos outros. Preciso de outro método para chegar ao x, porque não consigo resolver com a equação com a variável que flutua lá em cima acima do 2; preciso dela no chão onde pertence, onde posso chegar a ela. E terei de usar logaritmos para derrubar essa variável.
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Ao lidar com equações, posso fazer o que quiser com a equação, desde que faça a mesma coisa a ambos os lados. E, para resolver uma equação, tenho de obter a variável por si só num lado do sinal “igual”; para isolar a variável, tenho de “desfazer” o que quer que tenha sido feito à variável.
Neste caso, a variável x foi colocada no expoente. O inverso (tecnicamente, o “inverso”) dos expoentes são logaritmos, pelo que terei de desfazer o expoente tomando o log dos dois lados da equação. Isto é-me útil por causa da regra do log que diz que os expoentes dentro de um log podem ser transformados em multiplicadores em frente do log:
logb(mn) = n – logb(m)
Quando tomo o log de ambos os lados de uma equação, posso usar qualquer log que goste (log base 10, log base 2, log natural, etc.), mas alguns são por vezes mais úteis do que outros. Uma vez que a base na equação “2x = 30” é “2”, posso tentar usar um log base-2:
log2(2x) = log2(30)
Any log da base do log retorna um valor de 1, portanto log2(2) = 1. Então:
x – log2(2) = log2(30)
x(1) = log2(30)
x = log2(30)
Se lhe for pedido para “encontrar a solução”, então a resposta acima deverá ser uma resposta aceitável. No entanto, este valor, embora “exacto”, não será muito útil para problemas de palavras (ou na “vida real”) se precisar de uma aproximação numérica.
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Mas não podemos avaliar esta expressão nas nossas calculadoras tal como está. Primeiro, precisaríamos de aplicar a fórmula da mudança de base para converter a expressão em algo numa base que as nossas calculadoras possam compreender; nomeadamente, o log natural ou o log comum. Essa conversão parece-se com isto:
x = log2(30)
Reminder: O “ln” é a abreviatura de “logarithmus naturalis”, a versão latina do que se tornou “log natural” em inglês. A abreviatura é pronunciada “ell-enn” e escrita com um “L” minúsculo seguido de um “N” minúsculo. Não há “I” (“olho”) no nome da função!
O que aconteceria se eu utilizasse apenas o tronco natural, em vez de um tronco de base dois, em primeiro lugar? O processo teria sido exactamente o mesmo, e a resposta final teria sido equivalente.
2x = 30
ln(2x) = ln(30)
x – ln(2) = ln(30)
De qualquer modo, recebo a mesma resposta, mas ter o log natural em primeiro lugar era mais simples e mais curto.
Nota: poderia ter usado o log comum (base-10) em vez do log natural (ou seja, o log base-e), e ainda assim obter o mesmo valor (quando avaliado na calculadora).
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P>Posto que a ciência usa tanto o log natural, e como é um dos dois registos que as calculadoras podem avaliar, tenho tendência a tomar o registo natural de ambos os lados ao resolver equações exponenciais. Isto não é (geralmente) necessário, mas é frequentemente mais útil do que outras opções.
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Solve 5x = 212. Dê a sua resposta na forma exacta e como aproximação decimal a três casas.
Desde que 212 não é uma potência de 5, então terei de usar os registos para resolver esta equação. Poderia pegar no log base 5 de cada lado, resolver, e depois aplicar a fórmula da mudança de base, mas penso que preferiria apenas usar o log natural em primeiro lugar:
5x = 212
ln(5x) = ln(212)
x – ln(5) = ln(212)
…ou cerca de 3.328, arredondado a três casas decimais.
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Solve 102x = 52
P>Desde que 52 não é uma potência de 10, terei de usar troncos para resolver isto. Neste caso particular, uma vez que a base é 10 e uma vez que a base 10 logs pode ser feita na calculadora, utilizarei o log comum em vez do log natural para resolver esta equação em particular:
102x = 52
log(102x) = log(52)
2x – log(10) = log(52)
2x(1) = log(52)
2x = log(52)
….ou cerca de 0,858, arredondado a três casas decimais.
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3(2x+4) = 350
Antes de poder começar a olhar para o exponencial, primeiro tenho de me livrar do 3, por isso vou dividir isso para obter:
p>Desde que
não é uma potência de 2, terei de usar logs. Neste caso, utilizarei o tronco natural:
..ou cerca de 2.866, arredondado a três casas decimais.
Nota: Também se poderia resolver o acima exposto utilizando regras exponentes para quebrar a potência no 2: