Standardabweichung

Hier ist ein etwas schwierigeres, reales Beispiel: Die durchschnittliche Größe für erwachsene Männer in den Vereinigten Staaten beträgt 70″, mit einer Standardabweichung von 3″. Eine Standardabweichung von 3″ bedeutet, dass die meisten Männer (etwa 68%, unter der Annahme einer Normalverteilung) eine Körpergröße haben, die 3″ größer bis 3″ kleiner ist als der Durchschnitt (67″-73″) – eine Standardabweichung. Fast alle Männer (ca. 95 %) sind 6″ größer bis 6″ kleiner als der Durchschnitt (64″-76″) – zwei Standardabweichungen. Drei Standardabweichungen beinhalten alle Zahlen für 99,7% der untersuchten Stichprobenpopulation. Dies gilt, wenn die Verteilung normal (glockenförmig) ist.

Wenn die Standardabweichung null wäre, dann wären alle Männer genau 70″ groß. Wäre die Standardabweichung 20″, dann wären einige Männer viel größer oder viel kleiner als der Durchschnitt, mit einem typischen Bereich von etwa 50″-90″.

Ein weiteres Beispiel: Jede der drei Gruppen {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} und {6, 6, 8, 8} hat einen Durchschnitt (Mittelwert) von 7. Aber ihre Standardabweichungen sind 7, 5 und 1. Die dritte Gruppe hat eine viel kleinere Standardabweichung als die anderen beiden, weil ihre Zahlen alle nahe bei 7 liegen. Im Allgemeinen sagt uns die Standardabweichung, wie weit der Rest der Zahlen vom Durchschnitt entfernt ist, und sie hat die gleichen Einheiten wie die Zahlen selbst. Wenn zum Beispiel die Gruppe {0, 6, 8, 14} das Alter einer Gruppe von vier Brüdern in Jahren ist, ist der Durchschnitt 7 Jahre und die Standardabweichung 5 Jahre.

Die Standardabweichung kann als Maß für die Unsicherheit dienen. In der Wissenschaft hilft zum Beispiel die Standardabweichung einer Gruppe von wiederholten Messungen den Wissenschaftlern zu wissen, wie sicher sie sich des Durchschnittswertes sind. Bei der Entscheidung, ob Messungen aus einem Experiment mit einer Vorhersage übereinstimmen, ist die Standardabweichung dieser Messungen sehr wichtig. Wenn die durchschnittliche Zahl aus den Experimenten zu weit von der vorhergesagten Zahl entfernt ist (wobei der Abstand in Standardabweichungen gemessen wird), dann ist die getestete Theorie möglicherweise nicht richtig. Weitere Informationen finden Sie unter Vorhersageintervall.

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Das Verständnis der Standardabweichung einer Reihe von Werten ermöglicht es uns zu wissen, wie groß die Abweichung vom „Durchschnitt“ (Mittelwert) ist.

WetterBearbeiten

Als einfaches Beispiel betrachten Sie die durchschnittlichen Tageshöchsttemperaturen für zwei Städte, eine im Landesinneren und eine am Meer. Es ist hilfreich zu verstehen, dass der Bereich der Tageshöchsttemperaturen für Städte in Meeresnähe kleiner ist als für Städte im Landesinneren. Diese beiden Städte können jeweils die gleiche durchschnittliche Tageshöchsttemperatur haben. Die Standardabweichung der Tageshöchsttemperatur für die Küstenstadt wird jedoch geringer sein als die der Stadt im Landesinneren.

SportEdit

Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ist, Sportmannschaften zu betrachten. In jeder Sportart wird es Teams geben, die in einigen Dingen gut sind und in anderen nicht. Die Teams, die in der Rangliste ganz oben stehen, werden nicht viele Unterschiede in ihren Fähigkeiten aufweisen. Sie schneiden in den meisten Kategorien gut ab. Je geringer die Standardabweichung ihrer Fähigkeiten in jeder Kategorie ist, desto ausgeglichener und konsistenter sind sie. Teams mit einer höheren Standardabweichung werden dagegen weniger vorhersehbar sein. Ein Team, das normalerweise in den meisten Kategorien schlecht ist, wird eine geringe Standardabweichung haben. Ein Team, das in den meisten Kategorien normalerweise gut ist, wird ebenfalls eine niedrige Standardabweichung haben. Ein Team mit einer hohen Standardabweichung könnte jedoch die Art von Team sein, das viele Punkte erzielt (starke Offensive), aber auch das andere Team viele Punkte erzielen lässt (schwache Defensive).

Der Versuch, im Voraus zu wissen, welche Teams gewinnen werden, kann einen Blick auf die Standardabweichungen der verschiedenen Team-„Statistiken“ beinhalten. Zahlen, die sich von den erwarteten unterscheiden, können Stärken und Schwächen gegenüberstellen, um zu zeigen, welche Gründe am wichtigsten sein könnten, um zu wissen, welches Team gewinnen wird.

Im Rennsport wird die Zeit gemessen, die ein Fahrer braucht, um jede Runde um die Strecke zu fahren. Ein Fahrer mit einer geringen Standardabweichung der Rundenzeiten ist konstanter als ein Fahrer mit einer höheren Standardabweichung. Diese Information kann verwendet werden, um zu verstehen, wie ein Fahrer die Zeit für das Beenden einer Runde reduzieren kann.

MoneyEdit

In Geld kann die Standardabweichung das Risiko bedeuten, dass ein Preis nach oben oder unten geht (Aktien, Anleihen, Immobilien, etc.). Sie kann auch das Risiko bedeuten, dass eine Gruppe von Preisen steigt oder fällt (aktiv verwaltete Investmentfonds, Indexfonds oder ETFs). Das Risiko ist ein Grund, Entscheidungen darüber zu treffen, was man kaufen soll. Das Risiko ist eine Zahl, anhand derer Menschen wissen können, wie viel Geld sie verdienen oder verlieren können. Je größer das Risiko ist, desto höher kann die Rendite einer Investition ausfallen (das „Plus“ der Standardabweichung). Allerdings kann eine Investition auch mehr Geld verlieren als erwartet (die „Minus“-Standardabweichung).

Zum Beispiel: Eine Person muss sich zwischen zwei Aktien entscheiden. Aktie A hatte in den letzten 20 Jahren eine durchschnittliche Rendite von 10 Prozent, mit einer Standardabweichung von 20 Prozentpunkten (pp). Aktie B hatte in den letzten 20 Jahren eine durchschnittliche Rendite von 12 Prozent, aber eine höhere Standardabweichung von 30 Prozentpunkten. Wenn die Person über das Risiko nachdenkt, kann sie entscheiden, dass Aktie A die sicherere Wahl ist. Auch wenn sie vielleicht nicht so viel Geld verdient, wird sie wahrscheinlich auch nicht viel Geld verlieren. Die Person könnte denken, dass der um 2 Punkte höhere Durchschnitt von Aktie B die zusätzliche Standardabweichung von 10 pp (größeres Risiko oder Unsicherheit der erwarteten Rendite) nicht wert ist.

Regeln für normalverteilte ZahlenBearbeiten

Dunkelblau ist weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert. Bei der Normalverteilung schließt dies 68,27 Prozent der Zahlen ein, während zwei Standardabweichungen vom Mittelwert (mittel- und dunkelblau) 95,45 Prozent einschließen, drei Standardabweichungen (hell-, mittel- und dunkelblau) 99,73 Prozent und vier Standardabweichungen 99,994 Prozent.

Die meisten mathematischen Gleichungen für die Standardabweichung gehen davon aus, dass die Zahlen normal verteilt sind. Das bedeutet, dass die Zahlen auf beiden Seiten des Mittelwerts in einer bestimmten Weise verteilt sind. Die Normalverteilung wird auch Gauß-Verteilung genannt, weil sie von Carl Friedrich Gauß entdeckt wurde. Sie wird oft als Glockenkurve bezeichnet, weil sich die Zahlen so verteilen, dass sie in einem Diagramm die Form einer Glocke haben.

Zahlen sind nicht normalverteilt, wenn sie auf der einen oder anderen Seite des Mittelwerts gruppiert sind. Zahlen können verteilt sein und trotzdem normalverteilt sein. Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Zahlen gestreut sind.