Wie findet man die vertikalen Asymptoten einer Funktion?

In diesem Artikel werden wir über das gefürchtete A-Wort, Asymptote, sprechen. Meiner Erfahrung nach bleiben Studenten oft an dem Begriff hängen und glauben vielleicht, dass diese Art von Problemen unmöglich ist. Aber mit einem soliden Verständnis der Konzepte und ein paar algebraischen Techniken in Ihrem Werkzeugkasten ist es nicht allzu schwierig, die vertikalen Asymptoten einer Funktion zu finden.

Die Arten von Asymptoten

Es gibt drei Arten von Asymptoten: horizontale, vertikale und schräge. Dieser Artikel konzentriert sich auf die vertikalen Asymptoten. Horiztonale Asymptoten werden an anderer Stelle besprochen, und schräge Asymptoten sind in der AP-Prüfung selten zu sehen (weitere Informationen über schräge Asymptoten finden Sie in diesem Artikel und in diesem hilfreichen Video).

Vertikale Asymptoten

Eine vertikale Asymptote (oder kurz VA) für eine Funktion ist eine vertikale Linie x = k, die zeigt, wo eine Funktion f(x) unbeschränkt wird. Mit anderen Worten: Die y-Werte der Funktion werden beliebig groß im positiven (y→ ∞) oder negativen Sinne (y→ -∞), wenn sich x von links oder von rechts an k annähert.

Eine vertikale Asymptote ist wie eine „Ziegelmauer“, die die Funktion nicht überschreiten kann. Stellen Sie sich vor, Sie fliegen in einem Flugzeug und vor Ihnen sehen Sie einen riesigen Berg. Wenn Sie weder links noch rechts um den Berg herumfliegen können, was würden Sie tun? Sie würden wahrscheinlich nach oben fliegen, um ihn nicht zu treffen. Nun stellen Sie sich vor, der Berg sei senkrecht und unendlich hoch. Dann würden Sie vielleicht für immer nach oben fliegen, um ihn nicht zu treffen, und trotzdem nie über den Berg kommen!

Eine Funktion kann beliebig viele vertikale Asymptoten haben, oder gar keine. Manche Funktionen haben sogar unendlich viele VAs. Der unten gezeigte Graph hat vertikale Asymptoten bei x = -3 und x = 1.

Da es sich bei der Definition um Variablen handelt, die sich festen Werten nähern, sollte es kein Schock sein, dass Grenzen irgendwie beteiligt sein müssen. Die genaue Definition für eine vertikale Asymptote lautet wie folgt. Wir sagen, dass x = k eine VA für eine Funktion f(x) ist, wenn entweder der linke oder der rechte Grenzwert zu x = k unendlich ist:

Finden von vertikalen Asymptoten

Es gibt zwei Hauptwege, um vertikale Asymptoten für Probleme in der AP Calculus AB Prüfung zu finden, graphisch (aus dem Graphen selbst) und analytisch (aus der Gleichung einer Funktion). Wir werden über beide sprechen.

Bestimmen von vertikalen Asymptoten aus dem Graphen

Wenn ein Graph gegeben ist, dann suchen Sie nach Brüchen im Graphen. Wenn es den Anschein hat, dass ein Zweig der Funktion in Richtung der Vertikalen abbiegt, dann haben Sie es wahrscheinlich mit einer VA zu tun. Es ist hilfreich, eine vertikale Linie an dem x-Wert zu skizzieren, an dem sich Ihrer Meinung nach die Asymptote befinden sollte (siehe den oben abgebildeten Graphen). Beachten Sie, wenn ein Teil des Graphen Ihre vertikale Linie berührt, dann ist diese Linie doch keine Asymptote.

Bestimmen von vertikalen Asymptoten aus der Gleichung

Wenn Sie in der AP-Prüfung vertikale Asymptoten finden müssen, werden Sie höchstwahrscheinlich nicht den Graphen bekommen. Sie müssen also wissen, wonach Sie in der Gleichung der Funktion selbst suchen müssen. Fragen Sie sich, wo hat diese Funktion eine unendliche Grenze? Wir werden sehen, wie dies auf zwei verschiedene Arten von Funktionen zutrifft, rationale Funktionen und trigonometrische Funktionen.

Vertikale Asymptoten in rationalen Funktionen

Wenn Ihre Funktion rational ist, d. h. wenn f(x) die Form eines Bruchs hat, f(x) = p(x) / q(x), wobei sowohl p(x) als auch q(x) Polynome sind, dann folgen wir diesen beiden Schritten:

1. Faktorisieren Sie sowohl den Zähler (oben) als auch den Nenner (unten). Das ist sehr wichtig, denn wenn sich irgendwelche Faktoren am Ende aufheben, dann würden sie keine vertikalen Asymptoten beisteuern.

2. Sobald Ihre rationale Funktion vollständig reduziert ist, betrachten Sie die Faktoren im Nenner. Wenn es einen Faktor mit (x – a) gibt, dann ist x = a ein VA. Wenn es einen Faktor gibt, der (x + a) beinhaltet, dann ist x = -a ein VA. Beachten Sie, dass das Vorzeichen beide Male entgegengesetzt zu sein scheint (genau wie bei der Lösung eines faktorisierten Polynoms, das gleich Null gesetzt wurde).

Praxis Vertikale Asymptoten finden

Lassen Sie uns sehen, wie unsere Methode funktioniert. Finden Sie die vertikale(n) Asymptote(n) jeder Funktion.

Lösungen:
(a) Erster Faktor und aufheben.

Da der Faktor x – 5 sich aufhebt, trägt er nicht zur endgültigen Antwort bei. Unten bleibt nur noch x + 5 übrig, was bedeutet, dass es einen einzigen VA bei x = -5 gibt.

(b) Diesmal gibt es nach der Faktorisierung keine Stornierungen.

Wir finden zwei vertikale Asymptoten, x = 0 und x = -2.

Vertikale Asymptoten für trigonometrische Funktionen

Die Methode der Faktorisierung gilt nur für rationale Funktionen. Viele andere Arten von Funktionen haben jedoch vertikale Asymptoten. Die vielleicht wichtigsten Beispiele sind die trigonometrischen Funktionen. Von den sechs trigonometrischen Standardfunktionen haben vier vertikale Asymptoten: tan x, cot x, sec x und csc x. Tatsächlich hat jede dieser vier Funktionen unendlich viele davon!

Zum Beispiel hat f(x) = cot x eine VA bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π. Mit anderen Worten: x = n π ist ein VA für jedes n = 0, ±1, ±2, ±3, …

Benutzung des Grafikrechners

Allgemeinere Funktionen können schwieriger zu knacken sein. Wenn Sie an einem Prüfungsteil arbeiten, der einen grafischen Taschenrechner erlaubt, dann können Sie die Funktion einfach grafisch darstellen und versuchen, die Brüche im Graphen zu erkennen, an denen die y-Werte unbeschränkt werden. Einige Rechner, wie z. B. der TI-84, verfügen sogar über eine Option namens „Detect Asymptotes“, die die VAs automatisch grafisch darstellt. Seien Sie jedoch vorsichtig; wenn Ihr Sichtfenster zu klein ist, können Sie eine VA übersehen.

Schlussfolgerung

Asymptoten sind einfach bestimmte Linien, die uns etwas über das Verhalten von Funktionen sagen. Eine vertikale Asymptote zeigt, wo die Funktion eine unendliche Grenze hat (unendliche y-Werte). Es ist wichtig, die VAs auf einem gegebenen Graphen zu erkennen und sie analytisch aus der Gleichung der Funktion zu finden. Auch Ihr Graphikrechner kann Ihnen dabei helfen. Mit ein wenig Zeit und Übung können diese Techniken leicht gemeistert werden, und so müssen vertikale Asymptoten nicht die „Mauer“ sein, die Sie davon abhält, in der AP Calculus-Prüfung weit zu kommen!