Form

In der Geometrie haben zwei Teilmengen eines euklidischen Raums die gleiche Form, wenn die eine durch eine Kombination von Translationen, Rotationen (zusammen auch starre Transformationen genannt) und gleichmäßigen Skalierungen in die andere transformiert werden kann. Mit anderen Worten: Die Form einer Menge von Punkten ist die gesamte geometrische Information, die gegenüber Translationen, Rotationen und Größenänderungen invariant ist. Die gleiche Form zu haben, ist eine Äquivalenzrelation, und dementsprechend kann eine präzise mathematische Definition des Begriffs der Form als Äquivalenzklasse von Teilmengen eines euklidischen Raums gegeben werden, die die gleiche Form haben.

Der Mathematiker und Statistiker David George Kendall schreibt:

In diesem Artikel wird ‚Form‘ im allgemeinen Sinne verwendet und bedeutet das, was man normalerweise erwarten würde, dass es bedeutet. Wir definieren ‚Form‘ hier informell als ‚die gesamte geometrische Information, die übrig bleibt, wenn Ort, Maßstab und Rotationseffekte aus einem Objekt herausgefiltert werden.‘

Formen von physikalischen Objekten sind gleich, wenn die Teilmengen des Raums, die diese Objekte einnehmen, die obige Definition erfüllen. Insbesondere hängt die Form nicht von der Größe und der Platzierung des Objekts im Raum ab. So haben z. B. ein „d“ und ein „p“ die gleiche Form, da sie sich perfekt überlagern lassen, wenn das „d“ um eine bestimmte Strecke nach rechts verschoben, auf den Kopf gedreht und um einen bestimmten Faktor vergrößert wird (siehe Prokrustes-Überlagerung für Details). Ein Spiegelbild könnte jedoch als eine andere Form bezeichnet werden. Zum Beispiel haben ein „b“ und ein „p“ eine unterschiedliche Form, zumindest wenn sie sich zwangsweise in einem zweidimensionalen Raum wie der Seite, auf der sie geschrieben sind, bewegen. Auch wenn sie die gleiche Größe haben, gibt es keine Möglichkeit, sie perfekt übereinander zu legen, indem man sie entlang der Seite verschiebt und dreht. In ähnlicher Weise haben in einem dreidimensionalen Raum eine rechte und eine linke Hand eine unterschiedliche Form, auch wenn sie die Spiegelbilder voneinander sind. Formen können sich ändern, wenn das Objekt ungleichmäßig skaliert wird. Zum Beispiel wird eine Kugel zu einem Ellipsoid, wenn sie in vertikaler und horizontaler Richtung unterschiedlich skaliert wird. Mit anderen Worten: Die Beibehaltung der Symmetrieachsen (falls vorhanden) ist wichtig für die Erhaltung der Form. Außerdem wird die Form nur durch die äußere Begrenzung eines Objekts bestimmt.

Kongruenz und ÄhnlichkeitBearbeiten

Objekte, die durch starre Transformationen und Spiegelung (aber nicht durch Skalierung) ineinander transformiert werden können, sind kongruent. Ein Objekt ist also kongruent zu seinem Spiegelbild (auch wenn es nicht symmetrisch ist), aber nicht zu einer skalierten Version. Zwei kongruente Objekte haben immer entweder die gleiche Form oder spiegelbildliche Formen und haben die gleiche Größe.

Objekte, die die gleiche Form oder spiegelbildliche Formen haben, werden als geometrisch ähnlich bezeichnet, unabhängig davon, ob sie die gleiche Größe haben oder nicht. Ähnlich sind also Objekte, die durch starre Transformationen, Spiegelung und einheitliche Skalierung ineinander transformiert werden können. Die Ähnlichkeit bleibt erhalten, wenn eines der Objekte gleichmäßig skaliert wird, die Kongruenz hingegen nicht. Daher sind kongruente Objekte immer geometrisch ähnlich, aber ähnliche Objekte können nicht kongruent sein, da sie unterschiedliche Größen haben können.

HomomorphismusBearbeiten

Eine flexiblere Definition von Form berücksichtigt die Tatsache, dass realistische Formen oft verformbar sind, z. B. ein Mensch in verschiedenen Körperhaltungen, ein Baum, der sich im Wind biegt, oder eine Hand mit unterschiedlichen Fingerpositionen.

Eine Möglichkeit, nicht starre Bewegungen zu modellieren, sind Homöomorphismen. Grob gesagt, ist ein Homöomorphismus eine kontinuierliche Streckung und Biegung eines Objekts in eine neue Form. So sind ein Quadrat und ein Kreis homöomorph zueinander, aber eine Kugel und ein Donut nicht. Ein oft wiederholter mathematischer Witz ist, dass Topologen ihre Kaffeetasse nicht von ihrem Donut unterscheiden können, da ein hinreichend biegsamer Donut in die Form einer Kaffeetasse umgeformt werden kann, indem man eine Vertiefung erzeugt und diese progressiv vergrößert, während das Donut-Loch im Henkel der Tasse erhalten bleibt.

Eine beschriebene Form hat äußere Linien, die man sehen kann und die die Form ausmachen. Wenn Sie Ihre Koordinaten in ein Koordinatendiagramm eintragen würden, könnten Sie Linien zeichnen, um zu zeigen, wo eine Form zu sehen ist, aber nicht jedes Mal, wenn Sie Koordinaten in ein Diagramm eintragen, können Sie eine Form bilden. Diese Form hat einen Umriss und eine Begrenzung, so dass man sie sehen kann, und ist nicht nur ein normaler Punkt auf einem normalen Papier.

FormanalyseBearbeiten

Die oben erwähnten mathematischen Definitionen von starrer und nicht starrer Form sind im Bereich der statistischen Formanalyse entstanden. Insbesondere die Prokrustes-Analyse ist eine Technik, die zum Vergleich von Formen ähnlicher Objekte (z. B. Knochen verschiedener Tiere) oder zur Messung der Verformung eines verformbaren Objekts verwendet wird. Andere Methoden sind darauf ausgelegt, mit nicht starren (biegbaren) Objekten zu arbeiten, z. B. zur haltungsunabhängigen Formfindung (siehe z. B. Spektralformanalyse).

ÄhnlichkeitsklassenBearbeiten

Alle ähnlichen Dreiecke haben die gleiche Form. Diese Formen können mit Hilfe der komplexen Zahlen u, v, w für die Scheitelpunkte klassifiziert werden, in einer Methode, die von J.A. Lester und Rafael Artzy entwickelt wurde. Zum Beispiel kann ein gleichseitiges Dreieck durch die komplexen Zahlen 0, 1, (1 + i √3)/2 ausgedrückt werden, die seine Scheitelpunkte darstellen. Lester und Artzy nennen das Verhältnis

S ( u , v , w ) = u – w u – v {\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}}

die Form des Dreiecks (u, v, w). Dann ist die Form des gleichseitigen Dreiecks

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

Für jede affine Transformation der komplexen Ebene, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}

wird ein Dreieck transformiert, ändert aber nicht seine Form. Die Form ist also eine Invariante der affinen Geometrie.Die Form p = S(u,v,w) hängt von der Reihenfolge der Argumente der Funktion S ab, aber Permutationen führen zu verwandten Werten. Zum Beispiel: 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}

Auch p – 1 = S ( u , w , v ) . {\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}

Die Kombination dieser Permutationen ergibt S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . {\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}

Weiterhin gilt: p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}

Diese Beziehungen sind „Umrechnungsregeln“ für die Form eines Dreiecks.

Die Form eines Vierecks ist mit zwei komplexen Zahlen p,q verknüpft. Wenn das Viereck die Eckpunkte u,v,w,x hat, dann ist p = S(u,v,w) und q = S(v,w,x). Artzy beweist diese Sätze über Viereckformen:

1. Wenn p = ( 1 – q ) – 1 , {\displaystyle p=(1-q)^{-1},}
   

   dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

2. Wenn ein Parallelogramm | arg p | = | arg q | hat, dann ist es ein Rhombus.
3. Wenn p = 1 + i und q = (1 + i)/2, dann ist das Viereck ein Quadrat.
4. Wenn p = r ( 1 – q – 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})}
   

   und sgn r = sgn(Im p), dann ist das Viereck ein Trapez.

Ein Vieleck ( z 1 , z 2 , . . . z n ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},…z_{n})}

hat eine Form, die durch n – 2 komplexe Zahlen S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . . . , n – 2. {\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),j=1,…,n-2.}

Das Polygon begrenzt eine konvexe Menge, wenn alle diese Formkomponenten imaginäre Komponenten mit gleichem Vorzeichen haben.