Forme

En géométrie, deux sous-ensembles d’un espace euclidien ont la même forme si l’un peut être transformé en l’autre par une combinaison de translations, de rotations (ensemble également appelé transformations rigides), et de mises à l’échelle uniformes. En d’autres termes, la forme d’un ensemble de points est l’ensemble des informations géométriques qui sont invariantes par rapport aux translations, rotations et changements de taille. Avoir la même forme est une relation d’équivalence, et par conséquent une définition mathématique précise de la notion de forme peut être donnée comme étant une classe d’équivalence de sous-ensembles d’un espace euclidien ayant la même forme.

Le mathématicien et statisticien David George Kendall écrit:

Dans cet article, ‘shape’ est utilisé au sens vulgaire, et signifie ce que l’on s’attendrait normalement à ce qu’il signifie. Nous définissons ici la ‘forme’ de manière informelle comme ‘toute l’information géométrique qui reste lorsque les effets de localisation, d’échelle et de rotation sont filtrés d’un objet’

Les formes des objets physiques sont égales si les sous-ensembles d’espace que ces objets occupent satisfont à la définition ci-dessus. En particulier, la forme ne dépend pas de la taille et du placement dans l’espace de l’objet. Par exemple, un « d » et un « p » ont la même forme, car ils peuvent être parfaitement superposés si le « d » est translaté vers la droite d’une distance donnée, tourné à l’envers et agrandi d’un facteur donné (voir la superposition de Procrustes pour plus de détails). Cependant, une image miroir pourrait être appelée une forme différente. Par exemple, un « b » et un « p » ont une forme différente, du moins lorsqu’ils sont contraints de se déplacer dans un espace bidimensionnel tel que la page sur laquelle ils sont écrits. Même s’ils ont la même taille, il n’y a aucun moyen de les superposer parfaitement en les translatant et en les faisant pivoter le long de la page. De même, dans un espace tridimensionnel, une main droite et une main gauche ont une forme différente, même si elles sont l’image miroir l’une de l’autre. Les formes peuvent changer si l’objet est mis à l’échelle de manière non uniforme. Par exemple, une sphère devient un ellipsoïde lorsqu’elle est mise à l’échelle différemment dans les directions verticale et horizontale. En d’autres termes, la préservation des axes de symétrie (s’ils existent) est importante pour préserver les formes. De plus, la forme n’est déterminée que par la limite extérieure d’un objet.

Congruence et similaritéEdit

Les objets qui peuvent être transformés l’un dans l’autre par des transformations rigides et des miroitements (mais pas par des mises à l’échelle) sont congruents. Un objet est donc congru à son image miroir (même si elle n’est pas symétrique), mais pas à une version à l’échelle. Deux objets congruents ont toujours soit la même forme, soit des formes en image miroir, et ont la même taille.

Les objets qui ont la même forme ou des formes en image miroir sont dits géométriquement similaires, qu’ils aient ou non la même taille. Ainsi, les objets qui peuvent être transformés l’un en l’autre par des transformations rigides, des miroirs et une mise à l’échelle uniforme sont similaires. La similitude est préservée lorsque l’un des objets est uniformément mis à l’échelle, alors que la congruence ne l’est pas. Ainsi, les objets congruents sont toujours géométriquement similaires, mais les objets similaires peuvent ne pas être congruents, car ils peuvent avoir une taille différente.

HomorphismeEdit

Une définition plus souple de la forme prend en compte le fait que les formes réalistes sont souvent déformables, par exemple une personne dans différentes postures, un arbre qui se plie au vent ou une main avec différentes positions de doigts.

Une façon de modéliser les mouvements non rigides est par les homéomorphismes. Grosso modo, un homéomorphisme est un étirement et une flexion continus d’un objet en une nouvelle forme. Ainsi, un carré et un cercle sont homéomorphes l’un par rapport à l’autre, mais une sphère et un beignet ne le sont pas. Une blague mathématique souvent répétée est que les topologues ne peuvent pas distinguer leur tasse à café de leur beignet, car un beignet suffisamment malléable pourrait être remodelé à la forme d’une tasse à café en créant une fossette et en l’agrandissant progressivement, tout en préservant le trou de beignet dans l’anse d’une tasse.

Une forme décrite possède des lignes externes que vous pouvez voir et qui composent la forme. Si vous mettiez vos coordonnées sur un graphique de coordonnées, vous pourriez tracer des lignes pour montrer où vous pouvez voir une forme, cependant, ce n’est pas à chaque fois que vous mettez des coordonnées dans un graphique en tant que tel que vous pouvez faire une forme. Cette forme a un contour et une limite pour que vous puissiez la voir et n’est pas seulement des points ordinaires sur un papier ordinaire.

Analyse des formesModifier

Les définitions mathématiques de la forme rigide et non rigide mentionnées ci-dessus sont apparues dans le domaine de l’analyse statistique des formes. En particulier, l’analyse de Procrustes est une technique utilisée pour comparer les formes d’objets similaires (par exemple, les os de différents animaux), ou pour mesurer la déformation d’un objet déformable. D’autres méthodes sont conçues pour travailler avec des objets non rigides (pliables), par exemple pour la récupération de formes indépendantes de la posture (voir par exemple l’analyse de forme spectrale).

Classes de similaritéModifier

Tous les triangles similaires ont la même forme. Ces formes peuvent être classées en utilisant des nombres complexes u, v, w pour les sommets, selon une méthode avancée par J.A. Lester et Rafael Artzy. Par exemple, un triangle équilatéral peut être exprimé par les nombres complexes 0, 1, (1 + i √3)/2 représentant ses sommets. Lester et Artzy appellent ce rapport

S ( u , v , w ) = u – w u – v {\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}}.

la forme du triangle (u, v, w). Alors la forme du triangle équilatéral est

(0-(1+ √3)/2)/(0-1) = ( 1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp( i π/3).

Pour toute transformation affine du plan complexe, z ↦ a z + b , a ≠ 0 , {\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}

un triangle est transformé mais ne change pas de forme. La forme est donc un invariant de la géométrie affine. La forme p = S(u,v,w) dépend de l’ordre des arguments de la fonction S, mais les permutations conduisent à des valeurs connexes. Par exemple, 1 – p = 1 – ( u – w ) / ( u – v ) = ( w – v ) / ( u – v ) = ( v – w ) / ( v – u ) = S ( v , u , w ) . {\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w).}

Aussi p – 1 = S ( u , w , v ) . {\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}

Combiner ces permutations donne S ( v , w , u ) = ( 1 – p ) – 1 . {\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}

De plus, p ( 1 – p ) – 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u – w ) / ( v – w ) = S ( w , v , u ) . {\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}

Ces relations sont des « règles de conversion » pour la forme d’un triangle.

La forme d’un quadrilatère est associée à deux nombres complexes p,q. Si le quadrilatère a des sommets u,v,w,x, alors p = S(u,v,w) et q = S(v,w,x). Artzy prouve ces propositions sur les formes des quadrilatères :

1. Si p = ( 1 – q ) – 1 , {\displaystyle p=(1-q)^{-1},}
   

   alors le quadrilatère est un parallélogramme.

2. Si un parallélogramme a | arg p | = | arg q |, alors c’est un losange.
3. Lorsque p = 1 + i et q = (1 + i)/2, alors le quadrilatère est carré.
4. Si p = r ( 1 – q – 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})}
   

   et sgn r = sgn(Im p), alors le quadrilatère est un trapèze.

Un polygone ( z 1 , z 2 , . . z n ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},…z_{n})}

a une forme définie par n – 2 nombres complexes S ( z j , z j + 1 , z j + 2 ) , j = 1 , . . , n – 2. {\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,…,n-2.}

Le polygone délimite un ensemble convexe lorsque toutes ces composantes de forme ont des composantes imaginaires de même signe.