Articles

Samengesteld getal

Getaltheorie > Priemgetallen > Priemfactorisatie >
Geschiedenis en terminologie > Mathematica Code >

DOWNLOAD Mathematica Notebook

Een samengesteld getal n is een positief geheel getal n1 dat geen priemgetal is (d.w.z.e., dat andere factoren heeft dan 1 en zichzelf). De eerste paar samengestelde getallen (soms kortweg “composieten” genoemd) zijn 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … (OEIS A002808), waarvan de priemontbindingen zijn samengevat in de volgende tabel. Merk op dat het getal 1 een speciaal geval is dat noch als samengesteld noch als priem wordt beschouwd.

n priemfactorisatie n prime factorization
4 2^2 20 2^25
6 2-3 21 3-7
8 2^3 22 2-11
9 3^2 24 2^3-3
10 2-5 25 5^2
12 2^23 26 2-13
14 2-7 27 3^3
15 3-5 28 2^27
16 2^4 30 2-3-5
18 2-3^2 32 2^5

Het nste samengestelde getal c_n kan worden gegenereerd met behulp van de Wolfram Language code

 Composite := FixedPoint + 1&, n]

De Dirichlet-genererende functie van de karakteristieke functie van de samengestelde getallen c_n wordt gegeven door

sum_(n=1)^(infty)()/(n^s) = sum_(n=1)^(infty)1/(c_n^s)
(1)
= 1/(4^s)+1/(6^s)+1/(8^s)+1/(9^s)+...
(2)
= zeta(s)-1-P(s),
(3)

waar zeta(s) de zeta-functie van Riemann is, P(s) de priemzeta-functie is, en een Iverson-beugel is.

Er zijn oneindig veel samengestelde getallen.

Het samengestelde getallenprobleem vraagt of er positieve gehele getallen m en n bestaan zodanig dat N=mn.

Een samengesteld getal C kan altijd op minstens twee manieren als een product worden geschreven (omdat 1-C altijd mogelijk is). Noem deze twee producten

C=ab=cd,
(4)

dan is het uiteraard het geval dat c|abc deelt ab). Stel in

c=mn,
(5)

waar m het deel van c is dat a verdeelt, en n is het deel van c dat b deelt. Dan zijn er p en q zo dat

a = mp
(6)
b = nq.
(7)

Oplossing ab=cd voor d geeft

d=(ab)/c=((mp)(nq))/(mn)=pq.
(8)

Het volgt dan dat

S = a^2+b^2+c^2+d^2
(9)
= m^2p^2+n^2q^2+m^2n^2+p^2q^2
(10)
= (m^2+q^2)(n^2+p^2).
(11)

Hieruit volgt dat a^2+b^2+c^2+d^2 nooit priem is! In feite, het algemenere resultaat dat

S=a^k+b^k+c^k+d^k
(12)

is nooit priem voor k een geheel getal =0 geldt ook (Honsberger 1991).

Laat een antwoord achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *