Liczba zespolona

Liczba złożona to dodatnia liczba całkowita która nie jest pierwsza (tzn.e., która ma czynniki inne niż 1 i ona sama). Kilka pierwszych liczb złożonych (czasami nazywanych w skrócie „kompozytami”) to 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … (OEIS A002808), których rozkłady na liczby pierwsze są podsumowane w poniższej tabeli. Zauważ, że liczba 1 jest szczególnym przypadkiem, który jest uważany za ani złożony, ani pierwszy.

.

	faktoryzacja liczby pierwszej		faktoryzacja pierwszorzędna
4		20
6		21
8		22
9		24
10		25
12		26
14		27
15		28
16		30
18		32

Liczba liczba zespolona może być wygenerowana przy użyciu kodu języka Wolframa

 Composite := FixedPoint + 1&, n]

Funkcja generująca Dirichleta funkcji charakterystycznej liczb zespolonych jest dana przez

			(1)
			(2)
			(3)

gdzie jest funkcją zeta Riemanna, to funkcja zeta liczby pierwszej, a to nawias Iversona.

Istnieje nieskończenie wiele liczb zespolonych.

Problem liczb zespolonych stawia pytanie, czy istnieją liczby całkowite dodatnie i takie, że .

Liczba zespolona zawsze może być zapisana jako iloczyn na co najmniej dwa sposoby (ponieważ jest zawsze możliwy). Nazwij te dwa iloczyny

(4)

to oczywiste jest, że przypadek, że dzieli ). Zestaw

(5)

gdzie jest częścią która dzieli , a to część , która dzieli . Wówczas istnieją i takie, że

.

			(6)
			(7)

Rozwiązanie dla daje

(8)

Wynika z tego, że

Wynika z tego, że wynika, że

			(9)
			(10)
			(11)

Wynika stąd, że nigdy nie jest liczbą pierwszą! W rzeczywistości, z bardziej ogólnego wyniku wynika, że

.

(12)

is never prime for an integer also holds (Honsberger 1991).