Nombre composite
Un nombre composite 
est un entier positif 
qui n’est pas premier (c’est-à-dire.e., qui a des facteurs autres que 1 et lui-même). Les premiers nombres composites (parfois appelés » composites » en abrégé) sont 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …. (OEIS A002808), dont les décompositions premières sont résumées dans le tableau suivant. Notons que le nombre 1 est un cas particulier qui est considéré comme n’étant ni composite ni premier.
 |
facturation des nombres premiers |
.
 n |
facturation primaire | ||
| 4 |  |
20 |  |
||
| 6 |  |
21 |  |
||
| 8 |  |
22 |  |
||
| 9 |  |
24 |  |
||
| 10 | 25 |  |
|||
| d’autres… | 12 |  |
26 |  2-13 |
|
| 14 |  |
27 |  |
||
| 15 |  |
28 |  |
||
| 16 |  |
30 |  |
||
| 18 |  |
32 |  |
Le 
e nombre composite 
peut être généré à l’aide du code Wolfram Language
Composite := FixedPoint + 1&, n]
La fonction génératrice de Dirichlet de la fonction caractéristique des nombres composés 
est donnée par
 |
 |
.
 somme_(n=1)^(infty)1/(c_n^s) |
(1)
|
 |
 |
 |
(2)
|
 |
 |
 |
(3)
|
où 
est la fonction zêta de Riemann, 
est la fonction zêta première, et 
est un crochet d’Iverson.
Il existe une infinité de nombres composés.
Le problème des nombres composés demande s’il existe des entiers positifs 
et 
tels que 
.
Un nombre composite 
peut toujours s’écrire comme un produit d’au moins deux façons (puisque 
est toujours possible). Appelons ces deux produits
 |
(4)
|
alors il est évidemment le cas que 
divise 
). Ensemble
 |
(5)
|
où 
est la partie de 
qui divise 
, et 
est la partie de 
qui divise 
. Il existe alors 
et 
tels que
 |
 |
 |
(6)
|
 |
 |
 |
(7)
|
Résolvant 
pour 
donne
 |
(8)
|
Il s’ensuit que suit alors que
 |
 |
 |
(9)
|
 |
 |
 |
(10)
|
 |
 |
 |
(11)
|
Il s’ensuit donc que 
n’est jamais premier ! En effet, le résultat plus général que
 |
(12)
|
n’est jamais premier pour 
un entier 
est également valable (Honsberger 1991).